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【原创】奥数解析（十五）行程问题（一）

2017-10-29 11:47阅读：

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五年级奥数解析（十五）行程问题（一）
行程问题是反映物体匀速运动状况的应用题，它研究的是物体运动速度、时间和路程三者之间的关系。基本数量关系式为：
路程＝速度×时间； 路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间
行程问题根据运动物体的个数可分为：一个物体的运动、两个物体的运动或三个物体的运动。这里主要研究两个物体的运动，根据两个物体运动的方向，可分为：相遇问题（ 相向运动）、追及问题（同向运动）、相离问题（相背运动）三种情况。
两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体相向运动或相背运动时，以两个运动物体速度的和作为运动速度（简称速度和），当
两个物体同向运动时，追击的速度就变为了两个运动物体速度的差（简称速度差）。
当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑速度与无风跑速度相差一个风速；船在河中顺流航行和逆水航行速度分别与静水航行速度相差一个水流速度。
行程问题涉及到的物体运动的具体情况较复杂，题型较多。《奥赛天天练》第十五讲《相遇问题》，《奥赛天天练》第十六讲《追及问题》，《奥赛天天练》第十七讲《火车行程问题》，《奥赛天天练》第十八讲《流水行程问题》，依次教学相遇问题、追及问题、火车行程问题、流水行程问题这4种典型的常见行程问题应用题。
一、相遇问题。
两个物体在同一直线或环形路线上，同时或不同时由两地出发相向而行，在途中相遇，此类行程问题被称为相遇问题。两个物体同时或不同时从同一地点出发，相背而行，此类行程问题被称为相离问题。相离问题就相当于相遇问题的逆过程，这两类问题解题方法相同。常用数量关系式为：
甲的路程+乙的路程=相遇（或相离）路程
速度和×相遇（或相离）时间＝相遇（或相离）路程
相遇（或相离）路程÷速度和=相遇（或相离）时间
相遇（或相离）路程÷相遇（或相离）时间= 速度和
二、追及问题。
两物体在同一直线或环形路线上运动，速度慢的在前，速度快的在后，经过一段时间，速度快的追上速度慢的，此类问题通常被称为追及问题。常用数量关系式为：
路程差=追及者所行路程-被追者所行路程
追及时间×速度差＝路程差
追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间
三、火车行程问题。
火车过桥，火车过隧道，两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题，被称为火车行程问题。一般行程问题中，因为人、车之类的运动物体的长度很小，可以忽略不计。但火车行程问题在考虑路程时,必须考虑到火车本身的长度。常用数量关系式有：
①火车过桥或隧道：过桥（隧道）时间×速度=桥(隧道) 长+火车车长
②两列火车相向而行,从车头相遇到车尾相离：
所用时间×速度和=两车车长之和
③两列火车同向而行, 从快车头追上慢车尾到快车尾超过慢车头：
所用时间×速度差=两车车长度和
四、流水行程问题。
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到水流速度影响，在这种情况下船只的航行速度、时间和所行的路程之间的关系问题，就叫做流水行程问题，也称为流水行船问题。 常用数量关系式为：
顺水行程＝（静水速度＋水流速度）×顺水时间
逆水行程＝（静水速度－水流速度）×逆水时间
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
解题策略：
①要正确的解答相关行程问题应用题，必须要弄清运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（直线，环形路线），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追上）等情况。
②解答行程问题一定要养成画线段图的习惯，这是分析行程问题数量关系的基础。
《奥赛天天练》第15讲，模仿训练，练习1
【题目】：
甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相对而行，途中相遇，相遇点距A地60千米。相遇后两车以原速前进，到底目的地后，两车立即返回，在途中又第二次相遇，这时距A地40千米。问第一次相遇点距B地多少千米？
【解析】：
甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对而行，行驶情况如下图：
【原创】奥数解析（十五）行程问题（一）
蓝色线条表示甲车行驶路线，红色线条表示乙车行驶路线；细线条是第一次相遇前两车行驶路程，粗线条表示两车从第一次相遇到第二次相遇之间行使的路程。
从图中可以看出，从出发到第一次相遇，两车合走了1个全程（细线条）；从第一次相遇到第二次相遇，两车合走了2个全程（粗线条）；两车总共合走了3个全程。
每辆汽车的速度是一定的，所以它们各自行驶的路程与时间成正比例。
解法一：
如上图，第一次相遇时，即两车合走1个全程的时间里，甲走了60千米。
两车总共合走了3个全程，则甲车从A地出发，经过B地到达第二次相遇地点，总共行驶了3个60千米（蓝色线条全长），加上第二次相遇地点到A地40千米，共2个全程。所以A、B两地的距离为：
（60×3＋40）÷2＝110（千米）。
所以第一次相遇地点到B地的距离为：110－60＝50（千米）。
解法二：
如上图，从第一次相遇到第二次相遇，即两车合走2个全程的时间里，乙从第一次相遇点经过A地到达第二次相遇地点，共走了（60＋40）千米。
则乙从出发到第一次相遇，即两车合走1个全程的时间里，行驶的路程为：
（60＋40）÷2＝50（千米）。
第一次相遇点距B地的距离就是乙从出发到第一次相遇行驶的路程，即50千米。
《奥赛天天练》第15讲，模仿训练，练习2
【题目】：
甲、乙两人分别从两地同时相向而行，8小时后可以相遇。如果每小时都少行1.5千米，那么10小时后相遇，问两地相距多少千米？
【解析】：
把甲、乙的速度和即两人合走一小时的路程，看作一份。
如下图，按实际速度，8小时相遇，即两地距离可看作8大份。
如果每小时都少行1.5千米，则速度和就少了2个1.5千米即3千米。按这样的速度，10个小时相遇，即两地距离可以看作10小份。
【原创】奥数解析（十五）行程问题（一）
如上图，每1大份都比每1小份多3千米，8大份就比8小份多8个3千米，而10小份比8小份多了2小份。
对比两种走法，可得按第二种速度行驶2小时的路程，就相当于8个3千米。所以全程为：
8×3÷2×10=120（千米）。
《奥赛天天练》第15讲，巩固训练，习题1
【题目】：
甲、乙两地相距260千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，客车到乙地，货车到甲地后，都立即返回，两车又在距甲地多少千米处相遇？
【解析】：
如下图：
【原创】奥数解析（十五）行程问题（一）
第一次相遇点距乙地95千米，即两车合走1个全程的时间里，货车走了95千米。
与本讲前面【模仿训练，练习1】同理，两车从出发到第二次相遇合行了3个全程，总共行驶了两车合行3个全程的时间，则货车从乙地出发，经过甲地到达第二次相遇地点，也就行驶了3个95千米（红色线条全长）。
如上图，两车第二次相遇点距甲地的距离，就是货车行驶的总路程减去甲乙两地距离的差：
95×3－260＝25（千米）。
《奥赛天天练》第15讲，巩固训练，习题2
【题目】：
在一环形跑道上，甲从A点，乙从B点同时反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B地，又过8分钟两人再次相遇，甲、乙各行一周各需多少分钟？
【解析】：
如下图，蓝色线条是甲走的路程，图中标注的时间是指甲走过每一段路程花费的时间；红色线条是乙走过的路程；细线条是第一次相遇前甲乙两人走过的路程，粗线条是第一次相遇和再次相遇之间两人走过的路程。
【原创】奥数解析（十五）行程问题（一）
从上图中可以看出，从第一次相遇到再次相遇，走了（8＋4）分钟，两人合走的路程正好是一周。甲乙合走A、B两点间路程（黄色）用了6分钟。
甲乙两人的速度是一定的，路程与时间成正比例。
（8＋4）÷6＝2
所以环形跑道一周的路程正好是A、B间路程（黄色）的2倍。
甲从A走到B用了（6＋4）分钟，所以甲走一周需要时间：
（6＋4）×2＝20（分）。
从B点到第一次相遇地点，乙走了6分钟，甲走了4分钟，即甲走1分钟的路程，乙需要（6÷4）分钟，所以乙走完全程需要时间：
6÷4×20＝30（分）。
《奥赛天天练》第15讲，拓展提高，习题1
【题目】：
如下图，从A到B是1千米的下坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米上坡路。小张和小王步行，下坡的速度都是每小时6千米，平路的速度都是每小时4千米，上坡的速度都是每小时2千米。小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，问多少时间后相遇？
【原创】奥数解析（十五）行程问题（一）
【解析】：
解法一：
1小时等于60分钟。
上坡行1千米的时间为：60÷2＝30（分钟）
平路行1千米的时间为：60÷4＝15（分钟）
下坡行1千米的时间为：60÷6＝10（分钟）
小张从A到B需要时间：1×10＝10（分钟）
小王从D到C需要时间：2.5×10＝25（分钟）
即小张和小王到达B、C两地后继续前行时，出发时间小张比小王提前：
25－10＝15（分钟）
用BC的路程3千米减去小张先行15分钟所行的路程1千米，剩下路程就是小王到达D点后，两人同时步行一直到相遇时所行的路程和。
(3－1)÷2 ×15＝15（分钟）
即小王到达D点后，又经过15分钟，两人才相遇。
25＋15＝40（分钟）
所以，小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，40分钟后相遇。
解法二：
小张从A到B需要时间：1÷6＝1/6（小时）
小王从D到C需要时间：2.5÷6=5/12（小时）
即小张和小王到达B、C两地后继续前行时，出发时间小张比小王提前：
5/12－1/6＝1/4（小时）
用BC的路程3千米减去小张先行1/4小时所行的路程，剩下路程就是小王到达D点后，两人同时步行一直到相遇时所行的路程和。
(3－4×1/4)÷（4＋4）＝1/4（小时）
即小王到达D点后，又经过1/4小时，两人才相遇。
5/12＋1/4＝2/3（小时）
所以，小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，2/3小时后相遇。
注：因为分数乘除法孩子要到六年级才能学到，五年级的孩子比较适合用第一种解法求解。当孩子掌握了分数乘除法后，用第二种解法求解，思路更简洁。
《奥赛天天练》第15讲，拓展提高，习题2
【题目】：
丁丁和玲玲同时从家里出发相向而行，丁丁每分钟走52米，玲玲每分钟走70米，两人在途中A点相遇。若丁丁提前4分钟出发，且速度不变，玲玲每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。丁丁和玲玲家相距多少米？
【解析】：
如下图：
【原创】奥数解析（十五）行程问题（一）
丁丁两次行行的路程相等，都是从丁丁家到A点，两次行走的速度不变，因此丁丁两次从出发到相遇经过的时间也是相同的。
玲玲第一次行走时间与丁丁相同，第二次比丁丁少行了4分钟，即玲玲从家到A点，每分钟行90米比每分钟行70米少用了4分钟。
运用假设法，可以求出玲玲第二次出发到相遇的时间为：
70×4÷（90－70）＝14（分钟）
所以丁丁和玲玲家的距离为：
14×90＋（14＋4）×52＝2196（米）


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