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【原创】奥数解析（四十）圆柱的体积

2017-11-09 17:36阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/6336461290

六年级奥数解析（四十）圆柱的体积

《奥赛天天练》第40讲《圆柱的体积》。
圆柱的体积＝底面积×高
＝3.14×底面半径的平方×高
在实际运用中，有些圆柱的体积不能直接运用公式求出，主要有两种情况：
一、圆柱的底面半径、底面积和高等条件，没有直接给出，需要深入分析题中信息，通过推理计算先挖掘出这些隐藏条件，再求出体积。
二、题目给出的圆柱形物体是不规则的圆柱，需要通过切割、重组拼补成规则圆柱，再求出体积。
《奥赛天天练》第40讲，模仿训练，练习1
【题目】：

 求下图的体积。（单位：厘米）
【原创】奥数解析（四十）圆柱的体积
【解析】：
上图中不是一个规则的几何体，如果用两个这样的几何体沿着上面的椭圆切面可以
拼补成一个规则的圆柱体，拼成的圆柱的高为：
4＋6＝10（厘米）
拼成的圆柱的底面半径为1.5厘米，拼成的圆柱的体积是所求几何体的体积的2倍。
所求几何体的体积为：
3.14×1.52×10÷2＝35.325（立方厘米）。
《奥赛天天练》第40讲，模仿训练，练习2
【题目】：
在一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径是5厘米的圆钢。如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升9厘米；如果把水中的圆钢露出8厘米长，这时桶里的水面就下降4厘米，问这段圆钢的体积是多少？
【解析】：
由题意可得，8厘米长的圆钢的体积就相当于桶内（9－5）厘米水柱的体积，根据这个条件可以求出水桶的底面积为：
3.14×52×8÷（9－5）＝157（平方厘米）
而圆钢的体积就等于水桶内9厘米高水柱的体积：
157×9＝1413（立方厘米）。
《奥赛天天练》第40讲，巩固训练，习题1
【题目】：
（1）一个圆柱体的表面积是150.72平方厘米，底面半径是2厘米，求它的体积？
（2）一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米，求原来圆柱体的体积。
【解析】：
（1）求这个圆柱的体积，关键是先求出题中隐藏的条件圆柱的高。
圆柱体的表面积包括两个底的面积和一个侧面积，根据题中条件可以先求出底面积：
3.14×22＝12.56（平方厘米）
再求出侧面积：150.72－12.56×2＝125.6（平方厘米）
圆柱的侧面积就等于底面周长乘以高，可以求出圆柱的高为：
125.6÷（3.14×2×2）＝10（厘米）
所求圆柱的体积为：
12.56×10＝125.6（立方厘米）。
（2）求这个圆柱的体积，关键是求出圆柱的底面周长，求出了底面周长，也就知道了圆柱的高，再根据底面周长求出底面面积，最后求出体积。
“如果高缩短2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米”，分析这个条件可知，62.8平方厘米是与这个圆柱同底的高2厘米的圆柱的侧面积。通过这个条件先求出圆柱的底面周长为：
62.8÷2＝31.4（厘米）
圆柱的底面积为：
3.14×（31.4÷3.14÷2）2＝78.5（平方厘米）
所求圆柱的体积为：
78.5×31.4＝2464.9（立方厘米）。
《奥赛天天练》第40讲，巩固训练，习题2
【题目】：
有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是3立方分米。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米，问瓶内现有饮料多少立方分米？
【原创】奥数解析（四十）圆柱的体积
【解析】：
因为饮料瓶的容积是一定的，瓶中饮料的份量也是一定的，所以正放和倒放两种不同放法中，瓶中空余部分空间的大小也是相等的。因此正放饮料瓶中的饮料体积和倒放饮料瓶中空余部分容积合起来正好等于饮料瓶的容积3立方分米。
解法一：拼补组合。
这两部分合起来正好是一个以饮料瓶的底面圆为底，以（20＋5）厘米为高的圆柱体，体积就是3立方分米。可以求出饮料瓶底面圆的面积为：
3×1000÷（20＋5）＝120（平方厘米）
则瓶内现有饮料体积为：
120×20÷1000＝2.4（立方分米）。
解法二：按比例解题。
根据以上分析，饮料瓶底面积一定，饮料瓶中饮料体积与空余部分容积之比为就等于它们的高的比： 20 ：5。
所以瓶内现有饮料体积为：
3×[20÷(20＋5)]＝2.4（立方分米）。
《奥赛天天练》第40讲，拓展提高，习题1
【题目】：
把一个圆柱体的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的等底等高长方体，表面积比原来增加了400平方厘米。已知圆柱的高是20厘米，求圆柱的体积。
【解析】：
展开想象，拼成的近似长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了两个以圆柱高20厘米为长，以圆柱的底面半径为宽的长方形的面积，即这两个长方形的面积和为400平方厘米。
可以求出圆柱的底面半径为：
400÷2÷20＝10（厘米）
所求圆柱的体积为：
3.14×102×20＝6280（立方厘米）。
《奥赛天天练》第40讲，拓展提高，习题2
【题目】：
一个底面周长是3.14分米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的2/3。将两个同样大小的玻璃球放入杯子中，浸没在水里，这时水面上升8厘米，刚好与杯口齐平，求一个玻璃球的体积与杯子的容量各是多少？
【解析】：
先求出玻璃杯的底面半径（单位换算成厘米）：
3.14÷3.14÷2×10＝5（厘米）
两个玻璃球的体积和就等于玻璃杯内8厘米高水柱的体积，可以求出每个玻璃球的体积为：
3.14×52×8÷2＝314（立方厘米）。
杯中水的体积占杯子容量的2/3，放入玻璃球之后水面与杯口齐平，即两个玻璃球的体积占杯子容量的（1－2/3），可以求出杯子的容量为：
314×2÷（1－2/3）＝1884（立方厘米）。


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