Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换

2014-12-28 17:12阅读:
傅里叶级数很有用,但由于它主要针对的是周期函数和周期序列,因此应用范围太有限了。下图的这两幅图像分别是周期的和非周期的,很显然我们平时见到的都是后者。 Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换 Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
因此就需要有一个变换来处理非周期函数/序列,就是傅里叶变换。
我们现在已经有了傅里叶级数的基础了,还是想从它入手。但是它处理的是周期函数,然而非周期函数可以看做T->∞的周期函数,如下图所示。这就好办了,我们还是先写出x~(t)的傅里叶级数,然后将T->∞,x~(t) ->x(t)。
将x(t)以T为周期延拓为x~(t),它们在±T的区间内是相等的。
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
对于x~(t),利用傅里叶级数,有:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
根据x~(t)和x(t)的关系,ak可以写为(积分中的T->∞):
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换

将后面的积分定义为X(jw),于是有:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换 (1)
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
考虑到T0=2*pi/w0,并将ak带入x~(t)中,得到:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
当T->∞时,上式变为积分:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换 (2)
式(1)和式(2)就是傅里叶变换。
怎么理解这个变换呢?
它表示了一个非周期信号可以分解为无穷个基(ejwt)的和。这里w不像是傅里叶级数那样是一个以基频w0为基础的无穷序列{kw0},而是连续的频率域。基的图如下所示(图与图之间的频率可以想象为连续的):
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
而这些基的幅度和相位用X(jw)表示:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
非周期离散序列也是同样的求解思路。
将x[n]以N为周期延拓为x~[n],它们在±N的区间内是相等的。
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
写出x~[n]的傅里叶级数:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
根据x~[n]和x[n]的关系,ak可以写为(求和中的N->∞):
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
设后面的求和公式为X(jw):
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换 (3)
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
同样利用N和w的关系
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
得到:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换 (4)
令N->∞,上式变为在2*pi内的积分:
Fourier Transform(1):非周期信号的傅里叶变换
(3)和(4)就是非周期离散序列的傅里叶变换对。需要注意的是,其中(3)称为离散时间傅里叶变换(DTFT),而并不是离散傅里叶变换(DFT)。
和傅里叶级数对比可以发现,傅里叶变换上的频率都是连续的。级数变为了微分,在N内的求和变成了在2pi内的求积分。
而X(jw)的形式都和原来一样,只不过T->∞,N->∞。
至此,我们得到了非周期信号的傅里叶变换,下一节将周期信号的傅里叶变换。