10自招数学复习推荐试题：求人数
本题非原创
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10自招数学复习推荐试题：求人数
本题非原创
根据爱问知识人http://iask.sina.com.cn/b/15930662.html一道错题改编
【问题】有42个学生参加了一次数学竞赛，这次竞赛试卷总共3道大题，答题情况如下:
1．每人都至少做对了1道题；
2．在【没做对第1大题的学生】中，【能做对第2大题的学生人数】是【能做对第3大题的学生人数】的3倍；
3．【只做对第1大题一道题的人数】比【不只做对第1大题一道题的人数】的多1人；
4．【只做对了一道题的人】中，有一半的人【没做对第1大题】。
【求】1．做对了第1大题的人数；
2．只做对第2大题一道题的人数。
【解】设只做对1、2、3一道题的学生数分别为A、B、C；
只答出2、3；3、1；1、2两道题的学生数分别为D、E、F；
全部做对1、2、3三道题的学生数为F。
根据题意得到：
（1）：A+B+C+D+E+F+G=42；
（2）：B+D=3(D+C)，即 B=3C+2D；
（3）：A=E+F+G+1；
（4）：(A+B+C)/2=B+C，即 A=B+C 。
为运算方便，记X=A+E+F+G。则
①：X+B+C+D=42；
②：B=3C+2D；
③：2A=X+1；
④：A=B+C 。
这是四个方程构成的求五个待定值的不定方程组。
从①、②中消去D，从③、④中消去A，得
⑤ 2X+3B-C=84；
⑥ 2B+2C-X=1；
以C为参数，得到
X=(165+8C)/7=(23+C)+(4+C)/7；
B=(86-3C)/7=14-3(4+C)/7。
由于C为正整数，所以必有C=7K-4，Ｋ＝1，2，3，……
即 X=19+8K，B=14-3K。
若K=1，C=3。则 X=27，B=11，此时 A=B+C=14，D=(B-3C)/2=1，E+F+G=13；
若K≥2，X+B=33+5K≥43，不满足题意。
【结论】
1．有X=27人做对了第1大题。
2．有B=11人只做对了第2大题。
【○】【○】【○】【○】【○】【○】【○】【○】【○】【○】
http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_4aa977290100fbya.html?vt=4
《10高考 自招数学复习推荐试题：求整数》的答案：
设 A、B、C、D、E 五个数中奇数的个数为N，并设
P=B+C+D+E-A、
Q=C+D+E+A-B、
R=D+E+A+B-C、
S=E+A+B+C-D、
T=A+B+C+D-E。
①当N为奇数时，则 P、Q、R、S、T 五个数全是奇数，他们的乘积必是奇数，而所要求的乘积
111222333444555666777888
却不是奇数，所以N不是奇数；
②当N为偶数时，则 P、Q、R、S、T 五个数全是偶数，他们的乘积必是32的倍数数，而所要求的乘积
111222333444555666777888
=8×125×111222333444555666777888
却不是32的倍数，所以也N不是偶数。
【结论】这就充分说明了：满足题意要求的五个整数是不存在的。
【问题】有42个学生参加了一次数学竞赛，这次竞赛试卷总共3道大题，答题情况如下:
1．每人都至少做对了1道题；
2．在【没做对第1大题的学生】中，【能做对第2大题的学生人数】是【能做对第3大题的学生人数】的3倍；
3．【只做对第1大题一道题的人数】比【不只做对第1大题一道题的人数】的多1人；
4．【只做对了一道题的人】中，有一半的人【没做对第1大题】。
【求】1．做对了第1大题的人数；
2．只做对第2大题一道题的人数。
【解】设只做对1、2、3一道题的学生数分别为A、B、C；
只答出2、3；3、1；1、2两道题的学生数分别为D、E、F；
全部做对1、2、3三道题的学生数为F。
根据题意得到：
（1）：A+B+C+D+E+F+G=42；
（2）：B+D=3(D+C)，即 B=3C+2D；
（3）：A=E+F+G+1；
（4）：(A+B+C)/2=B+C，即 A=B+C 。
为运算方便，记X=A+E+F+G。则
①：X+B+C+D=42；
②：B=3C+2D；
③：2A=X+1；
④：A=B+C 。
这是四个方程构成的求五个待定值的不定方程组。
从①、②中消去D，从③、④中消去A，得
⑤ 2X+3B-C=84；
⑥ 2B+2C-X=1；
以C为参数，得到
X=(165+8C)/7=(23+C)+(4+C)/7；
B=(86-3C)/7=14-3(4+C)/7。
由于C为正整数，所以必有C=7K-4，Ｋ＝1，2，3，……
即 X=19+8K，B=14-3K。
若K=1，C=3。则 X=27，B=11，此时 A=B+C=14，D=(B-3C)/2=1，E+F+G=13；
若K≥2，X+B=33+5K≥43，不满足题意。
【结论】
1．有X=27人做对了第1大题。
2．有B=11人只做对了第2大题。
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http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_4aa977290100fbya.html?vt=4
《10高考 自招数学复习推荐试题：求整数》的答案：
设 A、B、C、D、E 五个数中奇数的个数为N，并设
P=B+C+D+E-A、
Q=C+D+E+A-B、
R=D+E+A+B-C、
S=E+A+B+C-D、
T=A+B+C+D-E。
①当N为奇数时，则 P、Q、R、S、T 五个数全是奇数，他们的乘积必是奇数，而所要求的乘积
111222333444555666777888
却不是奇数，所以N不是奇数；
②当N为偶数时，则 P、Q、R、S、T 五个数全是偶数，他们的乘积必是32的倍数数，而所要求的乘积
111222333444555666777888
=8×125×111222333444555666777888
却不是32的倍数，所以也N不是偶数。
【结论】这就充分说明了：满足题意要求的五个整数是不存在的。