[原创]评估上海市2009年高考理科数学卷第18题
2009-06-15 21:30阅读：
评估上海市2009年高考理科数学卷第18题
撰文/大罕
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以下是上海市2009年高考理科数学卷的第18题：
过圆C：(x-1)
2+(y-1)
2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S
Ⅰ+S
Ⅳ=S
Ⅱ+S
Ⅲ，则直线AB有（
）．
（A） 0条
（B） 1条
（C）
2条
（D） 3条
解答：
设角∠BCE=α, 则BE=tanα, DA=cotα(0<α<π/2),
则由扇形面积公式
S
扇形=(1/2) r
2α(α是扇形的中心角,
r是扇形所在圆的半径 )
可得:
S
Ⅰ=S
△CDA-S
扇形DCF=(1/2)
cotα-(1/2)(π/2-α),
S
Ⅱ=S
正方形ODCE-S
扇形ODE=1-π/4,
S
Ⅲ=S
△BEC-S
扇形GBE=(1/2)
tanα-(1/2)α,
S
Ⅳ=S
半圆C =π/2,
∵S
Ⅰ+S
Ⅳ=S
Ⅱ+S
Ⅲ，
∴(1/2) cotα-(1/2)(π/2-α)+π/2=1-π/4+(1/2)
tanα-(1/2)α,
整理得：tanα-cotα=2α+π-2,
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由tanα-cotα=-2cot2α,可得
cot2α=-α-π/2+1,
以下分别考察函数y=cot2α和y=-α-π/2+1(0<α<π/2)的图像,
y=cot2α图像周期为π/2,
而y=-α-π/2+1(0<α<π/2)的图像是直线y=-α-π/2+1在区间(0,π/2)上的一段,它们有且仅有一个公共点,即这样的直线AB只有一条，故选B.
评估:
作为填选题的最后一道题，第18题显然有较大的难度．此题有如下优点：
1．选材出奇。高考的准备过程中，应试者与出题者一直在做押题与反押题的周旋。命题人如果在冷点上作文章，肯定会受到应试者及背后的众多人们的指责,那也不是高手所为.在高中数学教材中,扇形的面积并不受人们特别青睐，不是热点内容,也肯定不能视为冷点内容，至多是人们的容易忽视的内容.而本题偏偏在这一点上切入。由此看来，押题不如在重在基础,以不变应万变.
2．立意巧妙。如果题目单纯计算扇形面积,那就成一道平面几何题了，会偏离考查的目标，而本题在直角坐标系下，设某角为自变量,相关线段就可以用三角函数表示,继而引入到扇形面积的计算之中，过程虽自然却刁钻.
面对一个'怪'的方程(左边是三角函数式,右边是一次函数式),当然只能使用“见怪不怪”的方法---图像法了.
斯琴高丽:观音手
