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0为了数学的明天,,穿越时空,重返南大(II)

2019-08-15 07:48阅读:
为了数学的明天,,穿越时空,重返南大(II
今年7月,国家4部委联合下发《关于加强数学科学研究工作方案》的重要通知,说明国家决定专项财政拨款资助基础数学研究,希尔伯特计划并不除外。此举,在世界范围内,开创了国家(级)专项资助基础数学研究之先河。
为了数学的明天,,穿越时空,重返南大。记得,在数学分析的课堂上,何旭初先生教导我们:极限定义需要阿基米德公理的支持,因为实数系统是阿基米德有序域。
过了两年,1960年,鲁宾逊证明事实并非如此,非阿基米德无穷小微积分成立,因为,超实数系统是非阿基米德有序域。
回到现在,希尔伯特与哥德尔关于数学形式化(公理化)的研究成果,将世界数学研究推进到一个本质上全新的高度。我们要顺应历史发展潮流(比如超实数方向),不做数守旧派。
袁萌 陈启清 815
附件:
阿基米德公理
在抽象代数和分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理(又称阿基米德性质),是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质。粗略地讲,它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奥地利数学家
Otto Stolz赋予它这个名字[1]
这个概念源于古希腊对量的理论;如大卫·希尔伯特的几何公理,有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。
阿基米德公理可表述为如下的现代记法: 对于任何实数
x,存在自然数n
n > x
在现代实分析中,这不是一个公理。它退却为实数具完备性的结果。基于这理由,常以阿基米德性质的叫法取而代之。
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目录
1 形式叙述以及证明
1.1 解释
1.2 与实数的完备性的关系
2 参看
形式叙述以及证明
解释
简单地说,阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句:
给出任何数,你总能够挑选出一个整数大过原来的数。
给出任何正数,你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。
这等价于说,对于任何正实数a b ,如果
a < b
,则存在自然数
n ,有
a + + a n terms > b {\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b}

与实数的完备性的关系
实数的完备性蕴含了阿基米德性,证明利用了反证法:
假设对所有
n

n a < b
(注意
n a
表示
n
a
相加),令
S = { n a | n = 1 , 2 , 3 , . . . }
,则
b

S
的上界(
S
上方有界,依实数完备性,必存在最小上界,令其为
α
),于是
n = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle \forall n=1,2,3,...}

n a < α ( n + 1 ) a < α n a < α − a {\displaystyle na<\alpha \Rightarrow (\Rightarrow na<</span>

得出
α − a
也是
S {\displaystyle S}
的一个上界,这与
α {\displaystyle \alpha }
是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质,但阿基米德性推不出实数的完备性,因为有理数满足阿基米德性,但并不是完备的。




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