高考数学攻关：二项式的递推展开（1）
2008-12-30 12:50阅读：
高考数学攻关：二项式的递推展开（1）
一、课堂趣遇 二项式展开一挥间
二项式定理复习课，老师提问.
【例1】 如何将二项式(
a+
b)
6 展开？
小π抢答：展开后共有6+1=7项.
小
e续答：7项都是6次齐次式，
a的指数从6降到0，
b的系数从0升到6，待定系数后，是这样的结果：
( a + b )6 = A0
a 6 + A1a 5
b +… + A6 b 6
大π补答：这7项的系数依次是：1，6，15，20，15，6，1.
老师笑了：你都背下来了？
大π否定：不用背！只要知道了
A0=1，便可推出
A1=6；只要知道了
A1=6，便可推出
A2=15；如此等等，一直递推到底，
A6=1.
小π新奇：怎么个递推法呢？
大π回答：以第一个系数
A0=1为起点.
（1）将
A0乘以6，除以1，即
A0·
= 6 =
A1；
（2）将
A1乘以5，除以2，即
A1·
= 15 =
A2；
（3）将
A2乘以4，除以3，即
A2·
= 20 =
A3；
（4）将
A3乘以3，除以4，即
A3·
= 15 =
A4；
（5）将
A4乘以2，除以5，即
A4·
= 6 =
A5；
（6）将
A5乘以1，除以6，即
A5·
= 1 =
A6 .
这个递推法则就是：从
A0开始，要乘的那个数从6减到1，要除的那个数从1增到6.
大π越讲越得意：漫说是展开(
a+
b)
6，就是展开(
a+
b)
100也是容易的事！
全班惊喜. 小
e问：这个办法真好！再请你说说道理.
“道理嘛！”——大π支支吾吾，半天说不出道理来.
老师很高兴，忙为大π解围：“至于道理，要等这节复习课讲完了，大家就会自然明白！”
二、二项式
( a + b ) n展开
追根
n = 1
根据乘法法则，分别有：
（1）
(
a+
b)
1 =
a+
b
（2）
(
a+
b)
2 =
a2+2
ab+
b2
（3）
(
a+
b)
3 =
a3+3
a2b+3
ab2+
b3
（4）
(
a+
b)
4 =
a4+4
a3b+6
a2b2+4
ab3
+
b4
……
展开后，（2）的系数是（1）的系数“错位相加”，（3）的系数是（2）的系数“错位相加”，（4）的系数是（3）的系数“错位相加”，……，（
n）的系数是（
n－1）的系数“错位相加”.
草式如下.
……
由此看到(
a +
b )
n展开式的系数是由(
a +
b )
1的系数“1+1”错位相加、累计(
n-1)次的结果.
【例2】 设 (
a +
b )
6 =
A0 a 6 +
A1a 5 b +
A2a 4 b2+ … +
A6 b 6
(
a +
b )
7 =
B0
a 7 +
B1a 6
b +
B2a 5
b2+ … +
B7 b
7
试用
Ai(
i =
0，1，…，6)的代数式表示
Bj (
j =0，1，2，…，7)
【解析】 (
a +
b )
7 = (
a +
b )
6 (
a +
b )
= (
A0 a 6 +
A1a 5 b + … +
A5ab 5 +A6
b 6) (
a +
b )
=
A0 a 7 + (
A0
+
A1)
a 6 b + (
A1 +
A2)
a5
b2 + … + (
A5 +
A6)
a b 6 +
A6 b7
于是有
B0 =
A0；
B1 =
A0 +
A1；
B2 =
A1 +
A2；
B3 =
A2 +
A3；
B4 =
A13+
A4；
B5 =
A4 +
A5；
B6 =
A5 +
A6；
B7 =
A6
.
【说明】 由（6）到（7）的系数“错位相加”草式如下.
这是一个有趣的规律，它说明：二项式展开式的每个系数也是“二项式”，即展开式的每个系数都是一个二项式的和.
一般地：
Br +1 =
Ar +
A r+1 (
r =
0，1，…，
n - 1)
特别地：
B0 = 0 +
A0 =
A0，
Bn =
An-1+ 0 =
An-1
三、二项式含二项式 看杨辉三角收藏
上面的“错位加法”有意思，二项式中的二项式更有意思，如果把草式简化，只把各行的“加法结果”依次开列出来，就得到我们熟悉的杨辉三角形（图右）.
这个三角形可命名为“1+1三角形”.因为：（1）这个三角形是从1+1开始的；（2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和.
这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和.
这个三角形还可命名为“二项式中的二项式三角形中”，因为这个三角形中的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和.
如三角形中第5行的第3数10，就等于它的肩上两数——第4行第2、3两数的和：10=4+6.
二项式中的二项式——“肩挑两数”中两数是唯一的吗？
【例3】 在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上2数的和，可以是：
A.10=4+6
B.10=3+7
C.10=2+8
D.10=5+5
【解答】 杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，因为加法的结果有唯一性.
所以，第5行第3个数10，肩挑两数的结果4+6是唯一的. 答案为A.
【说明】这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”.
因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.
如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即
10=6+3+1
它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即
10=4+3+2+1
“单肩串数”实为“肩挑两数”性质推论.
“单肩串数”实为“肩挑两数”递推的结果，例如数10，如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.
10=6+4=6+（3+1）=6+［3+（1+0）］=6+3+1+0
“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；从而是“错位加法”的累计结果（图右）.
========================================
第 [1] [2]
页
