[转] 一个强大的不等式及应用
三角形母不等式的应用 (1) |
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，有
x²+y²+z²≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC
证明：x²+y²+z²-2yzcosA-2zxcosB-2xycosC=(x-zcosB-ycosC)²+(ysinc-zsinB)²≥0
当且仅当
(2)
x²+y²+z²+2yzcos 2A+2zxcos2B+2xycos2C≥0
证明：x²+y²+z²+2yzcos2A+2zxcos2B+2xycos2C=(x+zcos2B+ycos2C)²+(ysin2c-zsin2B)² ≥0
当且仅当
(3)在(1)中用 1/x、1/y、1/z 代替x，y，z，有
xcosA+ycosB+zcosC≤1/2 (yz/x +zx/y +xy/z)
(4)在(2)中用 1/x、1/y、1/z 代替x，y，z，有
xcos2A+ycos2B+zcos2C≥-1/2 (yz/x +zx/y +xy/z)
(5)在(4)中应用二倍角公式，有
xsin²A+ysin²B+zsin²C≤xyz/4 (1/x +1/y +1/z)
(6)在(3)中用a、b、c代替x，y，z得
acosA+bcosB+ccosC≤1/2 (bc/a +ca/b +ab/c)
又由于acosA+bcosB+ccosC 是△ABC的垂足三角形的周长，由此得
△ABC的垂足三角形的周长不超过1/2 (bc/a +ca/b +ab/c)
(7)将(6)中不等式化为正弦形式有
sin2A+sin2B+sin2C≤sinBsinC/sinA + sinCsinA/sinB + sinAsinB/sinC
(8)在(3)中用cosA、cosB、cosC代替x、y、z有
cos²A+cos²B+ cos²B≤1/2(cosBcosC/cosA +osA/cosB +cosAcosB/cosC)
(9)在(3)中用 cosC/cosB、cosA/cosC、cosB/cosA 代替z、y、z有
cosBcosC/cosA +osA/cosB +cosAcosB/cosC
≤1/2(cos²B/cos²C +cos²C/cos²A +cos²A/cos²B)
结合(8)有
(10)在(5)中用x²+k、y²+k、z²+k代替x、y、z有
(x²+k)sin²A+(y²+k)sin²B+(z²+k)sin²C≤1/4 [1/(x²+k) +1/(y²+k) +1/(z²+k)](x²+k)(y²+k)(z²+k),(k>0)
而(xsinA+ysinB+zsinC)²≤[(x²+k)sin²A+(y²+k)sin²B+(z²
x²+y²+z²≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC
证明：x²+y²+z²-2yzcosA-2zxcosB-2xycosC=(x-zcosB-ycosC)²+(ysinc-zsinB)²≥0
当且仅当
(2)
x²+y²+z²+2yzcos 2A+2zxcos2B+2xycos2C≥0
证明：x²+y²+z²+2yzcos2A+2zxcos2B+2xycos2C=(x+zcos2B+ycos2C)²+(ysin2c-zsin2B)² ≥0
当且仅当
(3)在(1)中用 1/x、1/y、1/z 代替x，y，z，有
xcosA+ycosB+zcosC≤1/2 (yz/x +zx/y +xy/z)
(4)在(2)中用 1/x、1/y、1/z 代替x，y，z，有
xcos2A+ycos2B+zcos2C≥-1/2 (yz/x +zx/y +xy/z)
(5)在(4)中应用二倍角公式，有
xsin²A+ysin²B+zsin²C≤xyz/4 (1/x +1/y +1/z)
(6)在(3)中用a、b、c代替x，y，z得
acosA+bcosB+ccosC≤1/2 (bc/a +ca/b +ab/c)
又由于acosA+bcosB+ccosC 是△ABC的垂足三角形的周长，由此得
△ABC的垂足三角形的周长不超过1/2 (bc/a +ca/b +ab/c)
(7)将(6)中不等式化为正弦形式有
sin2A+sin2B+sin2C≤sinBsinC/sinA + sinCsinA/sinB + sinAsinB/sinC
(8)在(3)中用cosA、cosB、cosC代替x、y、z有
cos²A+cos²B+ cos²B≤1/2(cosBcosC/cosA +osA/cosB +cosAcosB/cosC)
(9)在(3)中用 cosC/cosB、cosA/cosC、cosB/cosA 代替z、y、z有
cosBcosC/cosA +osA/cosB +cosAcosB/cosC
≤1/2(cos²B/cos²C +cos²C/cos²A +cos²A/cos²B)
结合(8)有
(10)在(5)中用x²+k、y²+k、z²+k代替x、y、z有
(x²+k)sin²A+(y²+k)sin²B+(z²+k)sin²C≤1/4 [1/(x²+k) +1/(y²+k) +1/(z²+k)](x²+k)(y²+k)(z²+k),(k>0)
而(xsinA+ysinB+zsinC)²≤[(x²+k)sin²A+(y²+k)sin²B+(z²
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