自然数的整数次幂求和公式

自然数的整数次幂求和公式
作者：曹恒轩

整数包括正整数、零和负整数，正整数和负整数都是整数.
自然数包括0和正整数。本文中探讨非零且大于等于2的自然数的情形。
在这篇文章中，n∈N，N为自然数，笔者用n表示正整数，以（-n）表示负整数.(-n)、0、n共同组成整数.

∑a的n次方幂=[1/（a-1）]·[a的（n+1）次幂-1]=[a的（n+1）次幂-1]/（a-1）.………………（1）
其中，a为自然数，且a≥2，a∈N，N表示自然数.n的取值范围为n=0（特殊情况）和n=1至(+∞).
即∑a的n次方=a的0次幂+a的1次幂+a的平方+……+a的n次幂=[a的（n+1）次幂-1]/（a-1）.

∑a的n次幂=a的1次方+a的平方+a的立方+……+a的n次幂={[a的（n+1）次幂-1]/（a-1）}-1
=[a(a的n次幂-1)]/(a-1) =[a/(a-1)]·（a的n次幂-1）.………………………………（2）
其中，a∈N，且a≥2，n∈N，表示自然数，n的取值范围为[1，+∞）.

∑a的(-n)次幂=a的(-1)次幂+a的(-2)次幂+a的(-3)次幂+……+a的（-n）次幂
=1/a+1/a的平方+……+1/a的n次幂=（a的n次幂-1）/[（a-1）·（a的n次幂）].……（3）
其中，a∈N，且a≥2，n∈N，N为自然数，-n即为负整数，n的取值范围为[1，∞），-n范围为（-∞，-1].

(1)式表示a为大于等于2的自然数时,n为0和正整数时的求和公式；
(2)式表示a为大于等于2的自然数时,n为正整数时的求和公式；
(3)式表示a为大于等于2的自然数时,(-n)为负整数时的求和公式.

注释:自然数的整数次幂求和公式可分为a=1时和a≥