Rayleigh-Ritz法，伽辽金方法（Galerkin method）及加权余量法（zz）
2012-02-09 17:14阅读：
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Rayleigh-Ritz法：
根据最小势能原理，如果能够列出所有的几何可能位移，那么使总势能П1取最小值的那一组位移就是真实位移。问题是列出所有几何可能的位移是非常困难的，甚至是不可能的。
因此，对于实际问题的计算，只能凭借经验和直觉缩小寻找范围，在这个范围内的一族几何可能的位移中，找到一组位移使得总势能Et最小。
虽然这一组位移一般的说并不是真实的，但是可以肯定，它是在这个缩小的给定范围内部，与真实位移最为接近的一组位移，由此解答可以作为近似解。
从上述思想出发，在一般情况下，可以将位移分量选择为如下的形式
权余量法（zz）' />
其中，Am，Bm和Cm均为任意的常数；u0,v0和w0以及um,vm和wm都是坐标的已知函数，并且在位移边界Su上，有
这样构造的位移试函数，不论系数Am,Bm和Cm取何值，总是满足位移边界条件的。而且对于连续函数，必然满足几何方程。因此满足几何可能位移的条件。
现在的问题是将要如何选择待定系数Am,Bm和Cm，使得总势能П1在位移表达式表示的这一族位移中取最小值。
为此，将位移表达式代入几何方程求得应变分量，然后代入总势能П1的表达式，总势能Et原本是自变函数的泛函，现在成为待定系数Am,Bm和Cm的二次函数。
这样就把求解泛函的极值问题，转化成为求解函数的极值问题。总势能Et取极值的条件为
总势能Et取极值的条件又可以写作
上述公式是一组以Am,Bm和Cm（m=1，2，3…）为未知数的线性非齐次代数方程组，求解方程可得待定系数，回代就可以得到近似位移解答。这一方法称为瑞利—里茨法。
伽辽金方法（Galerkin method）
伽辽金方法（Galerkin
method）是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金发明的一种数值分析方法。
应用这种方法可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题。
伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。
必须强调指出的是，
作为加权余量法的一种试函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解（仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足）。
伽辽金法表达
伽辽金法直接针对原控制方程采用积分的形式进行处理，它通常被认为是加权余量法的一种。这里先介绍加权余量法的一般性方程。考虑
定义域为V的控制方程，其一般表达式为：
Lu=P
精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解ū
，它必然带来一个误差ε（x），把它叫做
残差，即：
ε (x)=Lū-P
近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，即：
∫ [ Wi· (Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n
Wi:加权函数
选取不同的加权函数Wi会得到不同的近似方法。
对于伽辽金法来说，加权函数Wi一般称为形函数Φ（或试函数），Φ的形式为
Φ=ΣΦi·Gi
其中Gi（i=1,2,...,n）为基底函数（通常取为关于x,y,z的多项式），Φi为待求系数，这里将加权函数取为基底为Gi的线性组合。
另外，
一般近似解ū的构造也是选取Gi为基底函数，即
ū=ΣQi·Gi
其中，Qi为待定系数。
综上可得
伽辽金法的表达形式如下：
选择基底函数Gi，确定 ū=ΣQi·Gi中的系数Qi使得
∫ [ Φ· (Lū-P)]dV=0
对于Φ=ΣΦi·Gi类型的每一个函数
Φ都成立，
其中系数Φi为待定的，但需要满足Φ其次边界条件。
求解出Qi之后，就能得到近似解ū。
伽辽金法理论基础
伽辽金法在力学中遵循的是虚功原理和流体力学中的虚功率原理[1]。
虚功原理即：对于满足理想约束的刚体体系上作用任何的平衡力系，假设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上所做的虚功总和恒为零（内虚攻总等于外虚功）。虚功率原理类似于力学中的最小势能原理，流场外力所做的虚功率等于流场内应力及惯性力的虚功率。
伽辽金法的应用及其优缺点
伽辽金法可广泛用于各种数学物理工程问题，特别是流体力学中的有限元方法，主要采用的就是伽辽金法或其改进方法。
伽辽金法是直接针对原始微分方程推导出来的，也适用于不能给出泛函（需对其求极小值）的那些问题。
虽然有限元方法在流体力学中应用时主要采用的就是伽辽金法，但是对于某些流体力学问题，如对流扩散问题（由于对流扩散方程存在非线性的对流项）会经常因为有限元网格不恰当而造成有限元数值解的失真或振荡。对于这个缺陷，可以通过加密网格解决，但是这样会导致计算量大大增加，并不实用；此外
Heinrich和Zienkiewicz等人于1977年提出采用迎风格式优化伽辽金法，从而在不增加计算量的基础上解决了这个问题。
另外伽辽金法及其一系列改进方法，如混合伽辽金法，最小二乘/伽辽金法等，都会产生非正定对称刚度矩阵，从而导致其方程组求解的计算量较大，所以至今未能大范围用于计算流体力学中。
加权余量法：（Weighted residual
approach），又称加权残量法，加权残余法。
当 n
有限时，定解方程存在偏差（余量）。取权函数，强迫余量在某种平均意义上为零。采用使余量的加权积分为零的等效积分的“弱”形式来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
概述
加权余量法在固体力学中，是求解线性、非线性微分方程的一种有效方法，它是基于等效积分形式的近似方法，也是通用的数值计算方法．有限元法、边界元法、无网格法都是加权余量法的特殊情况，由于这三种方法各有其特点，所以都各自发展为一种独立的方法，加权余量法最早是用于流体力学，传热等科学领域，后在固体力学中得到了更大的发展。
权函数的选择
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效方法．显然，任何独立的完全函数都可用来作为权函数，加权余量法可分为内部法、边界法和混合法，在内部法中，又可分为1.
配点法，以笛拉克函数δ作为权函数 2.子域法3.最小二乘法 4.力矩法 5.伽辽金法。
