容斥的至少与至多(原理解析)
2017-03-27 19:28阅读：
所谓“极值问题”就是通常说的最大值，最小值的问题，题干中通常有“至少”，“至多”等题眼，解决这类问题通常有两种方法，一是极限思想，另一种就是逆向思维。
高难度
一、至少：
1、“三少”题型：
假定总数为 M，满足三个条件的数目分别为
A、B、C。请问“满足三个条件的最少有多少”，答案为(A B C)-2M
1.
某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，至少有几个4个活动都参加?
解析:
逆向思维，分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少，由题意可知，分别为11,16,8,6，只有当这四项集合互相没有交集的时候，四项活动都喜欢的人数才最少，因此最少人数为46-11-16-8-6=5
2.
参加某部门招聘考试的共有120人，考试内容共有6
道题。
1至
6道题分别有
86人，
88人，
92人，
76人，
72人和
70人答对，如果答对
3道题或
3道以上的人员能通过考试，那么至少有多少人能通过考试？
解析（极限思想）：要使通过的人最少，那么就是对1道，2道的人最多，并且应该是对2道的人最多（这样消耗的总题目数最多），假设都只对了2道，那120人总共对了240道，而现在对了86
88 92 76 72
70=484，比240多了244道，每个人还可以多4道（这样总人数最少）,244/4=61。
(逆向思维)：先算出来1-6题每题错的人数120-86=34
120-88=32 120-92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50
要使通过的人数最少，就是没通过的人数最多，让错的人都只错4道就错的人最多，总的错的题数为34
32 28 44 48 50=236，
这236人次的错题最多可以分配给59人，使得这59个人每人错4题（恰好不通过）
236/4=59，那么至少还有120-59=61人肯定会通过。
（注意：算出来的值要跟上述的每一题做错的值相比，只有大于上述每一个值，才可以直接拿总数去减）
二、至多：
“二多”题型：假定总数为 M，满足三个条件的数目分别为 A、B、C。
请问“满足两个条件的最多有多少”，那么答案为(A B C)/2，如
果不是整数，向下取整（比如 14.5 就算 14）。
一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？【浙江2012行测】
Ａ．12人
Ｂ．14人
Ｃ．15人
Ｄ．16人
【题干分析】由“有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞”知涉及到三个集合，由问法“至多有几人会跳两种舞蹈”知为极值问题，所以题型特征为涉及到3个集合的至多型极值问题。从问题入手，应该让会跳一种舞蹈和三种舞蹈的人数尽可能小。
【答案】Ｃ。解析：由三个集合的容斥原理公式可知，为使跳两种舞蹈的人数最多，则应让只跳一种舞蹈的人数最少、会跳三种舞蹈的人数最少，可以都为0。设会跳拉丁舞和肚皮舞的人数、会跳拉丁舞和芭蕾舞的人数、会跳肚皮舞和芭蕾舞的人数分别是a、b、c，则a＋b＝12、a＋c＝8、b＋c＝10，解得a＝5、b＝7、c＝3，则至多有5＋7＋3＝15人会跳两种舞蹈。
【总结】容斥的极值问题，问法中出现了最多的字眼，要从问题入手，让其他集合尽可能小。
低难度
