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例析高考数学中的“分段”数列

2012-03-29 23:47阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2327991035

例析高考数学中的“分段”数列
徐辉
本文所述之“分段”数列，是指以“分段”的形式给出的数列，既可以是以分段的形式给出数列的通项公式，也可以是以分段形式给出数列的递推公式.高考中涉及的“分段”数列一般以分两段较多，如最常见的 clip_image002，也有少数是分为三段的，三段以上的基本没有.“分段”对同学们来说是个逻辑上的难

点，而数列又是高中数学最为重要的考点之一，因此，“分段数列”在高考中往往以“把关题”的面目出现，不仅考查学生的基础知识，更侧重考查学生的运算能力、理解能力、推理能力、论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法等.
一．数列的通项公式
是分段的形式
（一）数列的前若干项与后若干项具有不同的通项公式而形成的“分段数列”
例1（2007上海）.数列 clip_image004中， clip_image006 则数列 clip_image004的极限值（ ）

Ａ．等于 clip_image008 Ｂ．等于 clip_image010 Ｃ．等于 clip_image008或 clip_image010 Ｄ．不存在
分析：此数列的前1000项与后面的项的通项公式是不一样的，但数列的极限与数列的前有限项是没有关系的，因此，只需考虑当n≥1001时数列的通项公式来求极限.
解： clip_image014，选B.

例2（2007上海）.如果有穷数列 clip_image016（ clip_image018为正整数）满足条件 clip_image020， clip_image022，…， clip_image024，即 clip_image026（ clip_image028），我们称其为“对称数列”． 例如，数列 clip_image030与数列 clip_image032都是“对称数列”．
（1）设 clip_image034是7项的“对称数列”，其中 clip_image036是等差数列，且 clip_image038， clip_image040．依次写出 clip_image034的每一项；
（2）设 clip_image042是 clip_image044项的“对称数列”，其中 clip_image046是首项为 clip_image010，公比为 clip_image049的等比数列，求 clip_image042各项的和 clip_image051；
（3）设 clip_image053是 clip_image055项的“对称数列”，其中 clip_image057是首项为 clip_image049，公差为 clip_image060的等差数列．求 clip_image062前 clip_image064项的和 clip_image066 clip_image068．
分析：此题首先大家通过阅读要“读懂”什么叫“对称数列”.通过分析大家可以知道“对称数列”它的前若干项与后若干项通项公式是不一样的，它们之间存在着一种“对称”关系，而解此题的关键就在于理解并应用这种“对称”关系.尤其是第三问，由于数列的前后若干项的通项公式不同导致它们的前 clip_image064项和也只能以“分段”的形式给出.
解：（1）由题意，数列 clip_image034的公差为 clip_image071， clip_image073数列 clip_image034为 clip_image076．
（2） clip_image078 clip_image080
clip_image082 clip_image084 clip_image08667108861．
（3） clip_image088． 由题意得 clip_image090是首项为 clip_image092，公差为 clip_image094的等差数列．
当 clip_image096时， clip_image098 clip_image100．
当 clip_image102时， clip_image098 clip_image104
clip_image106 clip_image108．
故 clip_image110


（二）数列的奇数项与偶数项具有不同的通项公式而形成的“分段数列”
例3.已知数列 clip_image112的通项 clip_image114，求其前 clip_image116项和 clip_image118．
分析：很显然，此数列的奇数列项与偶数项的通项公式不一样，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，因此我们在求其前 clip_image116项和 clip_image118时出必须对奇数项与偶数项分别求和.但要注意奇数项并不是以1为首项6为公差的等差数列，而是以1为首项12为公差的等差数列；偶数列项也不是以 clip_image120为首项公比为2的等比数列，而是以 clip_image120为首项公比为4的等比数列.
解：当 clip_image116为奇数时，奇数项有 clip_image123项，偶数项有 clip_image125项，
∴ clip_image127
当 clip_image116为偶数时，奇数项和偶数项分别有 clip_image130项，
∴ clip_image132
所以， clip_image134

例4（2010天津）.在数列 clip_image136中， clip_image138=0，且对任意k clip_image140， clip_image142成等差数列，其公差为2k.
（1）证明 clip_image144成等比数列；
（2）求数列 clip_image146的通项公式；
分析：本题最核心的条件当然是 clip_image142成等差数列，且公差为2k.对于题（1），可利用这一核心条件写出数列的前6项，即知 clip_image144成等比数列，而对于题(2),则可利用这一核心条件，先得到所有奇数项中的后一项与前一项的关系，从而通过累加的方法等到奇数项的通项公式，然后再得到偶数项的通项公式.
解：（1）证明：由题设可知， clip_image148， clip_image150， clip_image152， clip_image154，
clip_image156.从而 clip_image158，所以 clip_image160， clip_image162， clip_image164成等比数列.
（2）解：由题设可得 clip_image166
所以 clip_image168
clip_image170 clip_image172.
由 clip_image174，得 clip_image176 ，从而 clip_image178.
所以数列 clip_image146的通项公式为 clip_image181.


二．数列的递推公式是分段的形式
（一）数列的项数为奇数或偶数时其递推公式不一致而形成的“分段数列”
例5（2005北京）设数列{an}的首项a1=a≠ clip_image183，且 clip_image185,
记 clip_image187，n＝＝l，2，3，…．
（1）求a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）求 clip_image189．
分析：此数列当项数为奇数或是偶数时，它的后一项与前一项的递推关系是不一样的.解决此类问题必须先弄清楚项数是奇数或偶数所对应的递推关系是什么，千万不能弄反了，然后再利用递推关系进行求解.必要的时候可先列出若干项，猜想出结论然后再进行论证.
解：（1）a2＝a1+ clip_image183=a+ clip_image183，a3= clip_image191a2= clip_image193；
（2） a4=a3+ clip_image183= clip_image191a+ clip_image195, a5= clip_image191a4= clip_image183a+ clip_image197,
所以b1=a1－ clip_image183=a－ clip_image183, b2=a3－ clip_image183= clip_image191(a－ clip_image183), b3=a5－ clip_image183= clip_image183(a－ clip_image183),
猜想：{bn}是公比为 clip_image191的等比数列·
论证如下：因为bn+1＝a2n+1－ clip_image183= clip_image191a2n－ clip_image183= clip_image191(a2n－1－ clip_image183)= clip_image191bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－ clip_image183, 公比为 clip_image191的等比数列·
（3） clip_image199.


（二）数列的项为奇数或偶数时其递推公式不一致而形成的“分段数列”
例6(2009湖北).已知数列 clip_image146满足： clip_image202（m为正整数）， clip_image204若 clip_image206，则m所有可能的取值为__________.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m clip_image208 clip_image209
分析：此数列分段的原因在后一项依赖前一项是奇数还是偶数来确定，在这种情况下，我们只能从讨论数列的项是奇数还是偶数来加以考虑.
解：若 clip_image211为奇数，则 clip_image213,则不能得到 clip_image215为正整数，矛盾，故 clip_image211必为偶数，可得 clip_image211=2.
若 clip_image217为奇数，则 clip_image219矛盾，故 clip_image217必为偶数，可得 clip_image217=4. 继续讨论如下：
clip_image221




故答案为4，5，32


（三）数列的项比某个数大或小时其递推公式不一致而形成的“分段数列”
例7（2008上海）已知以 clip_image215为首项的数列 clip_image146满足： clip_image225．
（1）当 clip_image227时，求数列 clip_image146的通项公式；
（2）当 clip_image229， clip_image231， clip_image233时，试用 clip_image215表示数列 clip_image146前100项的和 clip_image236.
分析：此数列后一项与前一项的关系依赖于前一项的大小。对于这样的数列，我们对其“特性”不明，最好先具体写出它的前几项，以观察研究它的特点，然后再进行求解.
解：（1）由题意， clip_image238，可知此数列呈周期性变化，于是可得： clip_image240
(2) 当 clip_image229时， clip_image243， clip_image245， clip_image247， clip_image249， clip_image251，
clip_image253， clip_image255 clip_image257， clip_image259， clip_image261
clip_image263
clip_image265
clip_image267 clip_image269

三．一段是通项公式另一段是递推公式的分段数列
clip_image271
例8.将边长分别为1、2、3、4、…、n、n+1、…（ clip_image273）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均数为 clip_image275.记数列 clip_image146满足 clip_image278, clip_image280.
（1）求 clip_image275的表达式；
（2）写出 clip_image283的值，并求数列 clip_image146的通项公式.
分析：题（1）是容易得到解答的，对于题（2）中的数列，其第一段是给出项与项数之间存在的关系，另一段是给出前一项与后一项之间的关系，这时可先处理第一段的通项公式，然后再研究另一段与前面这段是否有联系，根据它们的联系进行求解.
解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为 clip_image285，第2个阴影部分图形的面积为 clip_image287，……，第n个阴影部分图形的面积为 clip_image289.
故 clip_image291
（2） clip_image278, clip_image293, clip_image295
当n为偶数时， clip_image297
当n为大于1的奇数时， clip_image299
故 clip_image301.

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