解谜的艺术4 绳戏(上)

2011-09-19 00:45阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2367347891

To me the simple act of tying a knot is an adventure in unlimited space.
——Clifford W. Ashley[26]

海子和梵高作品中的麦田有种生命的张力，而麦田里劳碌一生的农民没有这样的感受。不同的文化和悟性造就不同的审美趣味，对同一事物的感受自然千差万别。一根普通的绳子摆在你面前，若只考虑实际用途自然没什么感觉。抛却功用，文化艺术角度的审美观照或许会带来有趣的联想。你似乎可以嗅到结绳记事的远古气息；它外形粗犷，与善于经营冒险生活的水手们一致；它的形态又仿佛暗示曾在某个神秘的谋杀案中充当道具主角；或者，如果它身形小巧轻盈，也许你跟幼稚园的同桌常用它玩翻绳游戏，离校时她送你留作纪念……感性的联想就此

打住，理性方面呢？

虽存世已久，关于绳子或者纽结的数学理论在19世纪末才发展起来，起源于物理学家们对一种错误的原子结构假说的探索[12]。随着拓扑学的迅速发展，纽结理论逐渐建立，但还存在许多比较基本的问题没有解决。而与此理论相近的拓扑谜题或者Disentanglement Puzzle的理论还很不完善。比如，怎么建立翻绳游戏的理论或算法[25]，如何判断Disentanglement Puzzle是否有解以及怎样求解（关于拓扑谜题的计算机求解[18]作了一些尝试，[19]则用拓扑学的方法引导Quatro谜题的求解）。

拓扑谜题显然没被AVG充分利用，经典解谜游戏《目标：金银岛》里有不少打绳结的谜题(截图来自[21])，可惜没什么难度，也用不着理论支持。我后面讲到的挂画谜题其实就能以适当的形式嵌入AVG。许多 Disentanglement Puzzle也可以移植到AVG中，虽然操作设计上有一定难度，Wolfram Demonstrations Project的部分工作就涉及实现Disentanglement Puzzle的可视化操作[22]。下面我论述的几个谜题理论较为完备，先给出一个绳圈类谜题的判定定理。
绳圈可解性定理：可以任意伸缩的绳圈能从某个谜题构件上解下来的必要条件是绳圈必须对应构件补空间基本群的单位元。（补充（充要条件）：视构件与绳圈为一体。首先算出原始谜题的基本群，将构件与绳圈分离，再算此时谜题的基本群。原始谜题可解的充要条件为两基本群同构。）

Figure Eight Puzzle（8字谜题，又叫内8字环[1]或太极环）
发明人Stewart Coffin在“8字谜题的奥德赛之旅[2]”中讲述了与此谜题有关的趣闻轶事，提到名著《Creative Puzzles of the World》[6]（有电子书，强推）有8字谜题解法的提示，如图：

从作者的言语之间不难看出他们开了个隐秘的小玩笑：除了这幅提示图带点玄幻色彩，其它谜题的解答提示均真实有效。Inta Bertuccioni 03年发表了一个短小精悍的无解证明[3]，先用van Kampen定理给出8字环补空间基本群G的一个表示，再作同态映射，将G映到GL2(Q)，而绳圈的对应元素没有映到单位矩阵，从而不是G的单位元。奇妙的是，四川有位卖智力玩具的老板07年竟悬赏千元征解此谜题，相关事件还被08年的财富故事会“太极环的秘密”播出。当然，醉翁之意不在酒，搞个噱头作广告罢了。
双锁谜题（小魔术）（截图和谜题描述来自[4]，原始版本来自[5])

“拿两把锁好的挂锁，做一个绳圈把它们套住，如图，交给观众，请他们试着把绳圈取下来。（当然不许割断绳圈，也不许开锁。）然后，不去动绳圈，把两把锁互相扣起来。这时绳圈居然可以取下了！试解释这个现象。”
解释：第一幅图两个锁补空间的基本群为，即x,y生成的自由群，绳圈对应群中的元素xyx^-1y^-1。第二幅图两个锁补空间的基本群为,即秩为2的自由阿贝尔群，此时绳圈的对应元素xyx^-1y^-1=xx^-1yy^-1=1。两幅图得到的基本群之间有自然的满同态映射，一族元素被映到单位元。从这个角度来说，看上去限制增加了，自由度反而增大。

双锁谜题代数式的直观解释：
按顺时针观察绳子。紫绳从下往上穿越黄锁记作a，从上往下穿越黄锁记作a^(-1)；从下往上穿越绿锁记作b，从上往下穿越绿锁记作b^(-1)。紫绳对应代数式aba^(-1)b^(-1)。
1、两把锁扣住，对应效果为字母乘积可交换：aba^(-1)b^(-1)=baa^(-1)b^(-1)=e (单位元)。
2、黄锁打开，效果为字母a，a^(-1)从式子中去掉：aba^(-1)b^(-1)=bb^(-1)=e 。
如图，推广到四锁谜题（任意n把锁可递推）。四锁顺次互锁，紫圈即可取下。

我收藏了不少Mechanical puzzles，其中有日本Hanayama公司的Cast Quartet，是进口的魔金(Cast Puzzle)。由四锁谜题逆推，可以用一根适当粗(保证绳子不能穿越组件的狭缝)的绳圈或链环将Quartet的四个组件穿起来。这也算作Cast Quartet的第三种玩法吧。

Whitehead’s Link[5]（怀特海链环）
如图，直观上两个绳圈无法分开（当然，还需严格证明），事实确实如此。但是，两绳圈在对方补空间的基本群中对应单位元。所以，绳圈可解性定理给出的可解条件是必要而非充分的。

（计算纽结或链环补空间的基本群可以直接套用Wirtinger Presentation 定理，而对比较简单的一般构件的补空间则可以用van Kampen定理。）
Picture Hanging Problem(挂画问题，小魔术) （[10]中有2钉挂画问题，谜题来自[7]，理论见[8]）
在墙上敲一排钉子，假设是n个，将一幅画挂上去（画框上有个很长的绳圈）。让某人随意指定一个钉子，将此钉拔掉。画竟然掉下来了。怎样挂可以产生如此神奇的效果？（找出在n个钉子上缠绕绳圈的方法。）2钉漫画形式的解法示意图来自某论坛，3钉解法图见[7]。

挂画问题能推广到更一般的形式。如，怎样缠绕使任意拔k（k）个钉画都不掉，只要拔k+1个钉画必然会掉下来。一般性推广：指定钉子的一个子集族S，任意拔掉S中任意子集的真子集画都不掉，而拔掉S中的任意子集画必然掉。
如果把钉子弯成圈，则n个钉的经典挂画问题变成了Brunnian Link的构造问题，即，n+1个圈套在一起分不开，但任意剪破一个圈其余n个圈全部分散开。如图为n=4的情形（图片见[8]）。

挂画问题与双锁谜题结合起来做推广可以创造加强版的魔术：将一个长绳圈与n把锁套在一起（与解决挂画问题的方法类似，读者不难递归构造出一种缠绕法），打开任意一把锁或者将任意两把锁相套都可以取下绳圈。实际操作时3把锁已经比较复杂了。
辫子谜题
此谜题出自马丁加德纳的书《啊哈！原来如此》（截图来自数学游戏巨著[14]，中译本为《稳操胜券》，解答来自[15]，理论见[16]）。《稳操胜券》作者之一John H.Conway在讲座“Tangles, Bangles & Knots[17]” 中展示了此谜题。

下图为多伦多大学数学教授Bar-Natan用印有20美元钱币图案的纸制作的辫子[23]。

然而4-辫子谜题却不可解[27]：

Borromean Rings(Link) (非洲木雕截图来自[20])
（我最早在科学美国人的数学与计算机游戏集锦[11]里见到。）

1、经典形式（3个圈的Brunnian Link）：三圈套在一起，任意破坏一圈，剩余两圈分开。
2、n=2的挂画问题将钉子弯成环，解本质上就是Borromean Rings。
3、辫子谜题中将编好的带子两头相接，再将缝隙剪通，就变成Borromean Rings。
4、双锁谜题的初始状态就是Borromean Rings。

下图为菲尔兹奖得主Vaughan Jones头戴5-Brunnian Link的照片[24]。

Hamilton Quaternion Group(i^2=j^2=k^2=ijk=-1)的带子变换表示。
一些抽象的代数结构在现实中存在有趣的表示形式。截图来自[13]。

最后放一个Kirill Grebnev的小清新谜题佳作：Forest Puzzle。此作品获2007年Nob Yoshigahara Puzzle Design Competition优秀奖。

[1] 周伟中，《巧解九连环》，金盾出版社，P78，“内8字环的结构和解法”
[2] 《The Mathemagician and pied puzzler》，P127
[3] Inta Bertuccioni，A Topological Puzzle, The American Methematical Monthly, Vol. 110, No. 10 (Dec., 2003), pp. 937-939
[4] 姜伯驹，《绳圈的数学》，湖南教育出版社，P47-48
[5] Dale Rolfsen，《Knots and Links》，P66，P68
[6] Pieter van Delft and Jack Botermans，《Creative Puzzles of the World》，P154
[7] Erik D. Demaine and Martin L. Demaine，Puzzles, Art, and Magic with Algorithms，Theory Comput. Systems 39, 473–481 2006
[8] Leland McInnes，Picture Hanging Problem，2003
[9] http://mathoverflow.net/questions/15316/collapsible-group-words
[10] Peter Winkler，《令你苦思冥想的数学趣题》
[11] 郭凯声译，《数学游戏》（上下）
[12] Colin,Adams and Robert Franzosa,《拓扑学基础极其应用》，P242
[13] Louis H. Kauffma,《Knots and Physics》，第三版，P420-432
[14] Elwyn R.Berlekamp,John Horton Conway and Richard K. Guy,《Winning Ways for Your Mathematical Plays》卷四,P853
[15] Martin Gardner,《Aha!Gotcha》,P72
[16] J.A.H.Shepperd，Braids Which Can be Plaited with Their Threads Tied Together at Each End，Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Volume 265, Issue 1321, pp. 229-244
[17] http://www.researchchannel.org/prog/displayevent.aspx?rID=2377
[18] Pedro Cabalar, Paulo E. Santos, Formalising the Fisherman’s Folly puzzle,2009
[19] Matthew Horak, Disentangling topological puzzles by using knot theory
[20] http://www.liv.ac.uk/~spmr02/rings/tripod.html
[21] http://www.adventuregamers.com/screenshot.php?id=6159
[22] http://demonstrations.wolfram.com/WireAndStringPuzzles/
[23]http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Gallery/KnottedObjects/BraidedThetas/index.html
[24]http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Gallery/KnottedObjects/GhanaianBorromean/5BorromeanAndJones.html
[25] http://website.lineone.net/~m.p/sf/menu.html
[26] Clifford W. Ashley,《The Ashley Book of Knots》,P8
[27] 万精油，辫可辫，非常辫，《数学文化》第5卷第3期
2010.06.29

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