如同拍蚊子:强变形能力下对二次函数相关公式的感觉

2020-03-25 10:00阅读:
虽然还没时间搞二次函数,三角恒等式证明,但是我脑袋推了下二次函数相关公式,考虑了韦达定理应用的实质(轮换对称式理论), 我初步预计,这些都是浮云。背后还是代数变形。不要说20-30周以后,就是现在搞这些,也轻松。如果20-30周以后再搞,完全就会是高射炮打蚊子的效果。不费脑力。--这是我最乐观的估计


我最近,也经常用代数变形的思想,去看别的专题,感觉都挺轻松。强烈预感后续学习会很轻松。不过现在对其余专题(比如二次函数)完全无兴趣,感觉这些专题,不太提高代数的智商--变形能力,对代数变形,有强烈兴趣。继续猛攻。


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代数变形能力强,我感觉再去看二次函数相关公式,真如同拍蚊子。
以前还要翻翻书,看下公式推导。
现在我坐地铁上睡觉,神游几分钟就可以把相关公式脑袋里推导。而且理解深刻。
我相信孩子也差不多,10多分钟就能复习和掌握相关公式,同样可以心算推导。
具体有几个地方不一样:
一 强大的心算能力,直接脑袋里面推
孩子和我的计算能力,都明显增强。有时候要写2-3页纸的计算。
二次函数顶点式公式,韦达定理推导,也就几行,心算就可。
以前就要推导。
比如顶点式心算过程:提取a后,一次项变成b/a, 配方后,变成2*(b/2a),那就补一个(b/2a)^2, 加一个就要减掉一个。从括号脱出后,要把a乘回来,然后它是负的(抵消增加的) 不就这么回事。
公式都不用硬记,秒级想起来。
对韦达定理推导,比这个还要简单
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
一眼看出,平方项系数是a
一次项系数是:-(x1+x2)=b
常数项 ax1x2= c
现在孩子做十字相乘,以及这种(ax+b)(cx+d)都是直接写
出结果。
别说俩了,有个特殊的(ax+1)(cx+1)(ex+1)都是一步写出结果。
一步写出,这样做题那就快多了。
此外就是观察能力增强,孩子说:一眼看千里。
一下看出好几步的变化。
二 认识更深刻,高维打低维
比如韦达定理,可以利用代数恒等式,和待定系数法一样。
就比如上面例子:
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
展开后比较系数。
同样,对于一元三次方程的韦达定理,可设
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
再高次数,也是一个道理。
变形能力更强
韦达定理,要娴熟运用,就是要能巧妙使用x+y,xy构造和求值。
这其实背后涉及轮换对称式。
利用x+y或x-y可以任意构造。
比如:已知 x+y, xy
那么,(x-y)^2=(x+y)^2-4xy
不要说这种两元的,三元的也玩烂了啊。
比如:已知x+y+z, xy+yz+zx
然后推导x^3+y^3+z^3, xyz, x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 (x+y+z)^2
这都推的烂了,其中有个关键公式:
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
还有个常用的,几乎可以叫公式的结论:
x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x=(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz
它的思想,就是轮换对称式的成绩,也是轮换对称,而3xyz可视为先乘后减,构造的结果:
也就是:
3xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)- (x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x)
还有x+1/x, x *1/x的各种变形。
这些东西都熟练了,再看一元二次方程韦达定理,就感觉有点太简单了。
小结:就算现在没时间学二次函数,但是感觉二次函数,不攻自破。这也仅仅就是搞了2周,做了140题的代数变形(不过要算上有1个月的因式分解)。我就感觉二次函数,几乎要不攻自破。
不等我进攻,二次函数就摇摇欲坠。
这要搞上20-30周的代数变形。
它二次函数,还能有什么东西呢?
就是高中三角恒等式证明,我觉得也可能不在话下了。
因为三角恒等式证明所采用各种技术,都会被提前搞的烂熟。
三角恒等式证明,也就会不攻自破。
至于说不等式,它仍然是以等式为基础,中间可以缩放,但是仍然是在整式变形基础之上。脱离不了等式。所以也不用怕。