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人教版小学四年级上册笔算乘法“铺地锦（格子乘法）”数学史料

2013-06-24 10:08阅读：

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“铺地锦（格子乘法）”数学史料
峨眉二小 杨林军

【教学内容】
人教版小学四年级上册第三单元《三位数乘两位数》的笔算乘法，教材第51、57页。
【教学建议】
在教学完“三位数乘两位数”的笔算方法之后的练习拓展中介绍“铺地锦(格子乘法)”。
【价值界定】
1、了解古代的乘法计算方法——“铺地锦”，会用这种方法计算三位数乘两位数。
2、通过古今乘法计算方法的比较，加深对三位数乘两位数相关知识的理解。

3、 培养学生自主探索用“铺地锦”的方法计算两位数乘两位数、三位数乘两位数等的能力，激发对数学学习的兴趣。
【案例改编】
一、出示错例：51页第7题。请学生找出错因：乘的过程中漏写或没加进位。
人教版小学四年级上册笔算乘法“铺地锦（格子乘法）”数学史料
二、过渡：曾经犯过这样错误的同学举手，其中还有些同学一而再再而三的犯这样的错误，真让人头疼。可是你们知道吗，古时候的人们在计算乘法的时候 就不怎么会犯这种错误，知道为什么吗？
三、其实，这跟古人的计算方法有很大的关系。
在中国明朝时期，那时候还没有出现乘法竖式这种计算方法，古人都是用《算法统宗》这本书中记录的一种 “铺地锦”的方法来计算乘法的。关于“铺地锦”，你都想了解些什么呢？下面就请同学们一起 看书57页.
你知道怎样用“铺地锦”的方法来计算乘法了吗？
学生质疑，请看懂的学生解答。
提问：现在你能猜出为什么这种计算方法叫“铺地锦”了吗？
总结：“铺地锦”原来是古代阿拉伯人计算乘法时用的一种方法，后来传入 我国，因为计算完了以后，形如我国古代织出的铺在地上的锦缎。因此我国 的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字——“铺地锦”。
你能用铺地锦的方法算出467×34 的积吗？
人教版小学四年级上册笔算乘法“铺地锦（格子乘法）”数学史料
所以467×34 =15878
提问：现在你知道为什么古人在计算乘法时不会出现刚才的错误了吗？
总结：在乘的过程中，一位数乘一位数如果出现两位数，可以都写在格子里，不需要在乘的过程中加，只要最后一步相加就可以了。这样就避免出现了乘的过程中忘加进位的情况。
【参考资料】
1、 程大位在《算法统宗》中谈到了“写算”，也就是“铺地锦”。这是一种在事先画好的格子上进行笔算的方法。这种方法曾在印度、阿拉伯和欧洲广为流行，大约在15世纪传入我国。因为写算的结果数字密密麻麻排列有序犹如锦缎，所以人们就把它称作“铺地锦”。
程大位喜欢用歌诀的形式表述算法。“写算歌”是这样的 ：
写算铺地锦为奇，不用算盘数可知。
法实相呼小九数，格行写数莫差池。
记零十进于前位，逐位数数亦如之。
照式画图代乘法，厘毫丝忽不须疑。
下面对这首歌诀逐句作一点解释：
“写算铺地锦为奇，不用算盘数可知。”——写算铺地锦的方法很奇妙不用算盘就能得出结果。
“法实相呼小九数，格行写数莫差池。”——“法”指一个因数（乘数），“实”指另一个因数（被乘数）。“相呼”，指写因数的时候，一个横写一个竖写相互呼应。“小九数”指乘法口诀。“差池”就是错误。全句的意思是：把两个因数一个横写一个竖写相互呼应，一位一位地按照乘法口诀把积写在相应的格子里，积的十位数写在左上方的三角格子里，个位数写在右下方的三角格子里，不要写错。
“记零十进于前位，逐位数数亦如之。”——“零”零头。“十进”满十进位。“亦如之”也像这样。全句的意思是：右下方的小三角格子里的数就是积的个位数。把它左上方几个三角格子里的数相加，就是积的十位数加的时候满十要进位。一位一位这样做下去，就得到积的十位数、百位数、千位数等等。
“照式画图代乘法，厘毫丝忽不须疑。”——“厘毫丝忽”都是计数单位。1厘=10毫，1毫=10丝，1丝=10忽。全句的意思是：按照这种方法用画图代替乘法，得数非常准确不必怀疑。
2、在中国古典文学长篇小说《镜花缘》第79回里，就有一段利用“铺地锦”求圆周长的故事。
 　　在小说中，有几位小姐妹聚在一起谈论数学。其中一位名叫青钿的，指着面前的圆桌，问道：“请教姐姐，这桌周围几尺？”
 　　被问的人叫做米兰芬，她向身边的宝云要过一把尺来，量出圆桌面的直径，是三尺二寸。然后取笔画了一个“铺地锦”，画完后，回答说：“此桌周围一丈零
零四分八。”（1米=3尺，1丈=10尺，1尺=10寸）
人教版小学四年级上册笔算乘法“铺地锦（格子乘法）”数学史料　　在左图中，左边是《镜花缘》书中画出的“铺地锦”，右边是我们把它改写成现代记号以后，得到的乘法竖式。
 　　从图中可以看出，“铺地锦”是在一个大的长方形里面，画了些纵横格子线，还画了连结方格对角的斜线，形状有点儿像铺在房间里的地毯，所以形象地叫做“铺地锦”。
 　　通过将图中左边的“铺地锦”和右边的乘法竖式对照，可以看出，虽然它们一个是中装，一个是西装，形式不同，实际内容却几乎完全一致。
 　　竖式中的被乘数和乘数，在“铺地锦”图里，分别写在大长方形边框的右边和上边。大长方形的4条边中，右边的和上面的两条，相当于乘法竖式里的第一道横线。
 　　在竖式里，撇开小数点不管，用乘数的各位数字2和3分别去乘被乘数314，得到的628和942，各写一行，行自为战。所得的各行，顺次向左错开一位，然后上下对齐相加。
 　　在“铺地锦”图中，大长方形里面竖的两排格子，自上而下，顺次写着用乘数的每一位去乘被乘数的每一位，得到的6、2、8和9、3、12，这些位与位的乘积，每个各占一格，格自为战。所得的这些格子，纵横对齐排列，沿对角斜线错位相加。
 　　在竖式的第二道横线上面画了3个小圆圈，这是在运算过程中，进位时做的记号。这些小圆圈记号在“铺地锦”里也有反映，表现为左边竖排3格斜线上面的3个“一”。
 　　竖式里的最后得数10.048，在“铺地锦”图里，是在大长方形边框的左边和下面，从左上往下，再往右，连起来读。大长方形的左面一条边和下面一条边，相当于竖式的第二条横线。
 　　画完了“铺地锦”图，相当于写完了乘法竖式。所以，《镜花缘》里的米兰芬画完“铺地锦”后，就能说出圆桌的周长是1丈零4分8厘（≈3.35米）。
3、程大位简介
人教版小学四年级上册笔算乘法“铺地锦（格子乘法）”数学史料 （1)程大位（1533～1606）明代商人，珠算发明家。字汝思，号宾渠，汉族，安徽休宁县率口（今黄山市屯溪）人。少年时，读书极为广博﹐对书法和数学颇感兴趣，一生没有做过官。20岁起便在长江中﹑下游一带经商。因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得。约40岁时回家，专心研究，参考各家学说，加上自己的见解，于60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）。
（2)珠算之父
人教版小学四年级上册笔算乘法“铺地锦（格子乘法）”数学史料《算法统宗》全书共17卷，万历二十年(1592)刻印。前二卷讲基本事项与算法，其中珠算加法及归除口诀，与现今口诀相同。乘法以“留头乘”为主，除法以“归除法”为主，为后世珠算长期 所沿用。卷三至卷十二为应用问题解法汇编，各卷以(《九章算术》)篇名为标题，但“粟米”改为“粟布”，“盈不足”改称“盈朒”。卷三“方田”章内介绍了他自己创造的“丈量步车”，用竹篦做成，类似现在测量用的皮尺。卷六中首先提出了归除开平方﹑开立方的珠算算法。卷十三至卷十六为“难题”汇编﹐仍依九章分类﹐用诗词形式表达算题。卷十七为“杂法”，介绍了民间算法“金蝉脱壳”及珠算式的笔算“一笔锦”。此外还有“铺地锦”﹑“一掌金”(一种指算法)以及各种幻方(即纵横图)等。最后附记“算学源流”，列出北宋元丰七年(1084)以来各种数学书目，共51种﹐其中只有15种现在尚有传本，余均失传﹐但对了解当时数学书传布的情况是很有参考价值的。
《算法统宗》全书595个问题，绝大多数是由其它数学著作如刘仕隆着《九章通明算法》(1424)和吴敬《九章算法比类大全》(1450)等书中摘录的。搜集当时算法较为完备﹐在当时同类珠算著作中是较好的一部。
在中国古代数学的发展过程中﹐《算法统宗》是一部十分重要的著作。流传极为广泛和长久，对中国在民间普及珠算起了很大的作用。明朝末年﹐还传入朝鲜﹑日本及东南亚各地﹐对这些地方传播珠算﹐也起了重要的作用。
《算法统宗》中有许多数学提是以歌决的形式出现的。如《以碗知僧》等。《算法统宗》首次完整地叙述珠算定位法的“定位总歌”：
数家定位法为奇，因乘俱向下位推。
加减只需认本位，归与归除上位施。
法多原实逆上数，法前得零顺下宜。
法少原实降下数，法前得零逆上知。
程大位于此书中在吸取各家算法精华的同时同，也接受了一些错误的见解。例如首篇“揭河图洛书，见数有本原”，有数字神秘主义思想，书末还有属无稽之谈的推算孕生男女歌。其中有的地方还使用传统数学书中的错误公式，未加改正，致使以讹传讹。这些对以后数学发展起了不良影响。
万历二十六年(1598)，程大位对《算法统宗》进行删节，取其切要部分，另编为《算法纂要》四卷，与《算法统宗》先后在屯溪刊行。
（3)卷尺之父
世界第一卷尺是他于1578年左右发明的，他当时把它称作“丈量步车”，程大位因此被誉为“卷尺之父”。
“丈量步车”较之当今的钢卷尺、皮卷尺显得庞大许多，但从其原理、构造、用途和用法来看，又令人不得不承认它就是卷尺的雏形。它由木制的外套、十字架，竹制的篾尺，铁制的转心、钻脚和环等部件组成。篾尺收放均从外套的匾眼中进出，钻脚便于准确插入田地测量点，环便于提携。我好奇地取出试用，果然篾尺收放自如，丈量、读数、携带都很方便。
更为珍奇的是程大位发明的卷尺不但有实物，而且在程大位编著的《算法统宗》第三卷中有完整的零件图、总装图、设计说明和改型说明等全套书面资料，这在世界发明史上是相当罕见的。馆长说：根据这套资料，世界上任何一个国家的木工都能很方便地仿制出来。
据《明史》记载，明神宗万历六年（1578年），内阁首辅张居正下令全国清丈土地，并将“土地丈量”与“一条鞭法”作为其推行的改革的重要措施。从《算法统宗》中获悉，程大位亲自参加了这次大规模的清丈土地工作。在此之前，“古者量田较阔长，全凭绳尺以牵量”，不但劳动强度大，而且差错率太高。因此给发明家提出了课题，逼迫他苦思冥想去创造一种崭新的丈量工具。他在设计说明中说，他的创意来自木工使用的墨斗。
（4)人物故居
人教版小学四年级上册笔算乘法“铺地锦（格子乘法）”数学史料程大位故居坐落在安徽省黄山市屯溪区率口渠东，占地540平方米，建于明正德年间，宅第主楼坐北朝南，三开间两进（俗称“一脊两堂”），二层，砖木结构，门楼里外挑檐，曲梁斗拱，马头山墙。西侧为祀祖楼，五开间，倚主楼而建。入口处就势建“宾园”一座，园内有仿古回廊、草坪及花圃。临宾园原有人工水渠一道，当地程氏后裔称该渠为“宾公渠'，公号'宾渠'即源出于此。
程大位故居始建于明代弘治年间，已经有500多年的历史。程大位故居占地面积4000多平方米，于1986年9月18日程大位逝世380周年纪念日正式对外开放，博物馆由故居祭祖楼、资料馆（覃思堂）、宾园四部份组成。全馆共收藏文史资料4000多份，不同形状、不同功能的算具（质地有金、银、铜、铁、锡、石、骨、象牙、泥、陶、玻璃、塑料、种子、海珠等数十种材料）近千件，充分展示了中国第五大发明——珠算发展、演变的历史进程。特别是程大位先生穷毕生精力所著《直指算法统宗》和《算法纂要》，开创了中国珠算新的里程碑。他的《直指算法统宗》成书并刊印出版于1592年5月，此书广泛流传300多年不衰，并在1600年流传到日本，开创了日本和算的先河，日本每年8月8日均要举行隆重的纪念活动，以纪念程大位先生。明末时期，他的书广泛传遍东南亚、欧洲和美洲，为世界珠算发展奠定了基础。


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