“牛吃草”问题不太适合孩子奥数
2017-08-20 22:07阅读：
“牛吃草”问题不太适合孩子奥数
这两天带孩子上奥数，讲到了牛吃草问题，而且还说这个问题是牛顿提出来的，但我认为这个问题当作奥数给孩子教授，是非常有问题的，会把小孩子的思路带到沟里，倒是真的印证了一些妖魔化奥数的人的说法，对这样的问题，应当及时纠正。
牛吃草问题大致是这样的：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？
给孩子的解题思路大致是这样的：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22
天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一部分吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。
这个问题在我们小时候应用题是不讲的，不知道哪一天给小学生当作奥数讲了，但这个问题当作奥数，没有把问题讲透，给孩子留下错误概念，问题还是很大的。这个问题孩子的解法，给大学数学教授以高等数学的视角看，可能就要开骂了。因为这个草长的一样快是有歧义的，这个题目的意思实际是每天长出一样多的草，可不是草长的一样快！被吃掉的草，当然不能再生长了！你可以想一下如果开始是100棵草一天长出10棵，那个速度是10%，吃到后来剩下10棵草，还是要一天长出10棵，这速度就是100%了，这怎么是长的一样快？这是生长速度指数型的增长。
这个问题给小孩子算术怎样解？代数的方程怎样解？解法主要考虑的就是草每天增加的数量一样。其实这个解法与真实的情况差别是巨大的。因为草每天生长的一样快，但被吃掉的草可不长，每一天长出来的草，应当是前一天剩下来的草按照一个同样的生长速度同比例的一个增加量，这会出现数列问题。而真正的问题是草生长和牛的吃是连续的，不是数列离散的，这就要变成微积分的内容了。
牛顿提出这样的问题，明显的就是一个微分方程的问题。牛顿这个大师，是微积分的发明者，他提出这个问题，原本就是一个微分方程问题，类似的问题我记得是大学时候做过。而且这类似的问题是微积分的一个标准应用问题，可以使用的场合特别多。
对这一个微分方程的问题可以拓展到很多领域，例如如果对应的金融领域，你拿你用钱和利息来计算，就是牛和草的关系：你每天使用的钱是牛吃掉的草，你的钱存在银行每一天不断的长利息，就是草在生长，生长速度每天一样快，就是利率不变。这里如果这个计算利息的周期是连续的，则（1+1/n）^n，著名的无理数e就要出现了，这是一个与e指数相关问题了。类似的问题，我们金融计算资金收益和财物管理等，是总要用的东西，而且比这个要复杂。
说到这里，大家就明白这个问题的真实答案不是孩子能够解决的。这里与以往的初等到高等数学给孩子在解决问题上的差别是不一样的。例如：以往小学生用四则运算解决应用题，到中学就是代数和方程，但两种方法在数学上是等价的，只不过高级的方法更程序化和简单了。但牛吃草问题给孩子的奥数解法的关键问题是：这样的思路不等价，而且连一个近似的解法都算不上！把指数问题变成线性问题，其中的偏差过大了，按照微分方程的计算结果，会与现在给孩子现行的奥数计算结果有天壤之别。
这个问题其实可以变成孩子们惯用的奥数思路，例如改成在产的工厂加工零件再出售，就没有上述的问题。因为工厂生产速度与留存的库存没有关系；而草的生长是与留有多少草在生长直接相关的。还有出口动态排队问题，也是很好的。但有些变形会有新问题，题目变形成水龙头进水出水，都会有一些物理问题（水箱内水压对龙头流速有影响），导致与实际情况不一样。给孩子的应用题不光要贴近生活，更要贴近实际情况，给他们对这个世界建立起正确的数字概念。不能让孩子脑子里面的数学模型与真实世界有重大偏差，否则对孩子未来思维和思考整个世界都有不良影响。
如此给众多孩子用这个不准确的方法做这个牛吃草的问题，给社会带来的非常有害，因为很多孩子以后未必是要学习那么深的数学，对这些问题他们不会，总比自己认为会但不对要强太多了。在小学孩子建立对整个世界认知思维的时候，失之毫厘谬之千里，绝对不能有半点偏差。现在很多文科生搞经济，数学没有吃透，很多金融领域类似牛吃草的高等数学问题，就是按照现在给孩子讲奥数的这种算数思路来解决经济金融问题的，带来很多匪夷所思的概念，还认为自己灰常正确。
所以我认为这个牛吃草问题，就要还原成为微分方程问题，从孩子的奥数当中删除，同时要让孩子知道类似的问题是一个微积分问题，他现在还不会。知道自己不懂，就是一种进步，反而一知半解，危害最大。所以选定教材和问题非常关键，很多奥数被妖魔化的问题，恰恰出在问题的选择之上，就如把脑筋急转弯当作奥数一样，利用你的概念理解偏差来为难你。而这个牛吃草的解法，对本来应当微分方程的问题，利用这个理解上的差异，变成了算数问题，而不是本来就可以简化为算数问题。所以这样的问题，孩子奥数课程和考题里面，还是要回避比较合适。
