个人课题 课题论文 “应用线段图解决实际问题之我见
2017-04-25 20:44阅读：
“应用线段图解决实际问题之我见
-----------以《鸡兔同笼》《植树问题》等课为例
【内容摘要】本文是《小学四年级应用线段图解决实际问题的实践研究》结题报告。
主要是利用学生熟悉的“线段图”把纯文本的应用题按照相应特质“画”出来，使得许多抽象的数量关系变得形象化、简单化，从而达到解决问题，提高学生解决问题的能力。
【关键词】线段图 解决问题
一、 问题背景
根据我多年应用题教学实践、对数学组教师的课堂观察、查阅有关文献，，发现目前在应用教学中普遍存在一些问题：数学题目中文字叙述越来越抽象，数量关系变得更加复杂；学生学习困难加大学习成绩明显下滑；教师指导方法不合理，一味的从题目字面去分析题意,虽讲得口干舌燥,却事倍功半.即使是学生理解了,也只是局限于会解决某道题，很难形成一种方法或者思路；教师对应用画“线段图”的这一解题策略研究不够重视，研究也不系统。
面对应用题教学现状，我认为有效改变的关键在于教学中指导学生用画“线段图”的方法解决实际问题，它可以将抽象的文字关系以直观形象的“图”方式表达出来，有效找出数量关系，解决实际问题。为此我确立此课题，重点解决以下问题：
1、解决学生把实际问题用“线段图”画出来的问题，提高学生画图读图能力。
2、应用“线段图”有效解决比较鸡兔同笼、复杂的行程、方程和植树、方阵等实际问题，逐步提高学生解应用题的能力。
二、 研究过程和方法
本课题中“线段图”是指针对部分较抽象应用题情况下采用画单条、多条、方形、环形线段图，将文本资源中数量关系明确表示出来，使得抽象问题具体化，为正确解题创造条件。同时将实际问题“画”出来，读画结合、以读促画、以画促思，激发了兴趣、掌握了方法、开阔了思维，也为进入更高年级学习打下坚实的基础。本课题中实际问题（应用题）特指实际应用型题目，也就是有关于数学与生活的题目，侧重研究解决行程问题、简单方程问题、植树问题、简单方阵问题等实际问题。
研究重点是应用画“线段图”方法解决实
际问题，逐步破解学应用题的难题，提高学习质量。研究对象是我校5年级学生，此阶段学生好奇、爱表现，也就有良好的运算能力和较好的数学活动经验，对应用题学习有较好的兴趣。
本次选择的研究个案是我上过的2节研究课，分别是四年级下册的
《鸡兔同笼》中假设法和五年级下册的
《植树问题》第三课时，前者课题研究侧重于在假设法初步感受线段图的“魅力”，后者侧重于线段图在解决实际问题中的“实战”，这种对线段图从初步认识再到实际应用的探索研究过程，有益于我们培养读图能、读题画图的能力和探索操作模式，为实施线段图解决实际问题提供成功的借鉴。
三、
课堂实践和问题改进
（一）第一次课堂实践---《鸡兔同笼》第一课时（地点：本校四年级1班）
1、授课内容目标分析
鸡兔同笼问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。其解法包括：列表法、假设法、方程法。由于本单元还没学习到方程法，故教材主要引导学生通过列表和假设等方法来逐步解决问题。列表法是一种不断尝试的思路，适合数量较少的问题，有明显的局限性。本课侧重介绍假设法，假设法是一种算术方法，可分为“假设——计算——推理——调整（置换）”四个关键步骤，计算比较简便，但
理解算理有一定难度，尤其是推理和调整这两个步骤不好理解，学生过不了这两关就不能真正掌握假设法。教师要认真分析学生的思维障碍，破解之处在于充分运用画图等方法，使学生直观地理解推理、调整的过程，最终达到培养学生猜测、有序思考及逻辑推理能力，达到本科教学目。为此本课题的教学目标是1．了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。2．经历自主探究解决问题的过程，体验解决问题策略的多样化。3．了解列表法、假设法等解决问题的方法，在解决问题的过程中培养逻辑推理能力，增强应用意识和实践能力。
2、教学的片段
教师：同学们，大约一千五百多年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题——“鸡兔同笼”问题。
出示主题图：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
教师：这道题是以文言文的方式表述的，雉就是野鸡，哪位同学看懂它的意思了？
学生：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?
教师：大家在刚才猜了好几组数据，经过验证都不正确，为什么猜不对呢？
数据大了不好猜，我们应该怎么办？
我们把数字改小些，先从简单的问题入手。
（课件出示例1）“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”
。。。
教师：同学们的想法非常好，我们一起用假设法来分析
（1）
假设全是鸡。（第一次是经验性理解）
学生：就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡。
教师：那笼子里是不是全是鸡呢？这也就是把什么当什么来算了？
学生：不是，我们是把一只4只脚的兔当成一只2只脚的鸡来算的。
教师：这样算会有什么结果呢？
学生：每少算一只兔就会少算2只脚。
教师：假设全是鸡，一共是16只脚。实际有26只脚，这样笼子里就少了10只脚，这说明什么呢？
学生：
每只鸡比兔少2只脚，少了10只脚说明笼子里有5只兔。
教师：其他同学可以理解吗？
学生：举手表示理解的寥寥无几，只有不足八分之一学生表示部分理解
教师：你们能列出算式吗？
学生：有些难
（2）假设全是鸡。（第二次画线段图理解）
学生：就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡。
教师：那笼子里是不是全是鸡呢？这也就是把什么当什么来算了？
学生：不是，我们是把一只4只脚的兔当成一只2只脚的鸡来算的。
教师：这样算会有什么结果呢？
学生：每少算一只兔就会少算2只脚。
教师：假设全是鸡，一共是16只脚。实际有26只脚，这样笼子里就少了10只脚，这说明什么呢？
我们可以借助画线段图理解一下。我们这样画出线段图，上面短的线段表示一只鸡，因为鸡的脚是2支。下面一条长线段表示兔子，兔子脚是4支故长度是上面的2倍。
生：观察线段图，每只鸡比兔少2只脚，少了10只脚说明笼子里有5只兔。
生“观察图形，每只兔子比鸡多2只脚，把兔子当做了鸡，自然也就把四只脚当做两只脚，自然脚的总数就会少。假设全部是鸡，这样腿的总数是16，比实际少10只，就意味着少算的是兔子的腿数。一只兔子少算2条腿，合计少算10腿，对应兔子有5只。
教师：你们能列出算式吗？
8×2＝16（只）。（如果把兔全当成鸡，一共就有8×2＝16只脚。）
26－16＝10（只）。（把兔看成鸡来算，4只脚的兔当成2只脚的鸡算，每只兔就少算了2只脚，10只脚是少算的兔的脚数。）
4－2＝2（只）。（假设全是鸡，就是把4只脚的兔当成2只脚的鸡。所以4－2表示一只兔当成一只鸡，就要少算2只脚。）
10÷2＝5（只）兔。（那把多少只兔当成鸡算，就会少10只脚呢？就看10里面有几个2，也就是把几只兔当成了鸡来算，所以10÷2＝5就是兔的只数。）
8－5＝3（只）鸡。（用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8－5＝3只鸡。）
3、研究发现：
数学学习中往往要从学生已经学过的知识出发，结合自己生活经验和熟悉的学习经验，去探索未知知识。在形成认知过程中往往产生的困惑或冲突是我们教学的焦点。本课第一次使用假设法去思考鸡兔各是多少只的问题，本节课也是围绕解答此问题进行学习上的探究。在设计探究此法中我刻意没有画图上的指导，留给学生自己探讨交流的空间，特别是思考总是多出的脚数10是什么意思的时候出现了意料中的思维分层，大部分学生但从字面算理上理解存在很大困难，存在为引出一种恰当的方法做了铺垫，也激发了孩子们的求知欲。因此我恰当的引出画线段图来分析，认识其中的算理，引导学生形象认识假设法中数量的变化。结合线段图绝大多数学生可以完全理解算理关系，同时这种画图方法也可以应用到假设全部都是兔子推理中，基于上面的示范，这次假设完全有学生自己完成，从画图、算式、结果等学生完成情况很好，正确率在70%以上。同学们在本次学习中认识到线段图也可以有这样的魅力。
今后在实际问题教学中要着力解决以下两个问题：第一是如何画出符合题意的线段图，第二线段图适合哪些类型的实际问题。问题产生也正是学习积极思维的客观描述，这也将推动我下一步研究方向侧重如何解决“画图”和“会用”问题，围绕遇到的新问题设计课堂教学，提高学生学习应用题的能力。
（二）第二次课堂实践---《植树问题》第三课时（地点：本校五年级1班）
1、
授课内容目标分析
本节课是学生在经历了借助线段图解决例1道路上两端都栽、例2两端不载基础上进行的，学生已经掌握了此类画图的基本方法，也积累了丰富的图文结合的探究经验，但是对非直线的线段图还没有接触过。例题3
的问题情景是在一条首位封闭的曲线上植树的问题，再次引入线段图的思考方法探究问题的解决，进一步培养学生解决问题能力和抽取数学模型的能力。用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
为此确定本课题教学目标（1）、运用画图和转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。（2）、进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。
2、
教学的片段
一、谈话引入，复习旧知
教师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。谁来帮助大家一起回顾这些知识？
预设：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？
预设：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。
教师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。
【设计意图】复习旧知再现了在一条线段上植树的三种情况，以及“猜测──验证”的方法和“从简单事例中发现规律，再将规律应用于复杂问题解决”的数学思想，为本课新知内容的探索打下了坚实的基础。
二、自主探索，学习新知
1．出示情境，展开探索
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
教师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同和不同的地方？
预设：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。（教师追问2：一条什么样的曲线？）
逐步引导得出：一条首尾相接的封闭曲线。
预设：相同之处是，都是已知长度和间隔距离。
教师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”的问题吗？
学生独立思考，讨论汇报。
2．概括归纳，得出模型
教师：大家想到了用什么方法来解决问题？（画图）120
m的长度太长了，怎么办？（先用简单的数据试一试）
（1）以周长为40 m的圆为例，通过下图得知，能栽4棵树。
（2）如果把圆拉直成线段，你能发现什么？
预设：相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。
（2）
我们还可以用这样的方式来理解。
（3）
（4）
引导得出：植树的棵数与间隔数“一一对应”。
教师：利用发现的知识，你能解决例3的问题吗？（出示：池塘的周长是120 m？）
（5）
120÷10=12（棵）
答：一共要栽12棵树。
教师：谁能完整地概括一下刚才的发现？
预设：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的一端栽一端不栽的情况。
3、
研究发现
（1）、课堂实践证明画线段图有一定的规律，以植树问题为例
“植树问题
”线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。面对比较复杂的植树情景多样性，确定出解决植树问题的基本方法格外重要。线段图就是一种很好的结题方法。教师给出例3情境图后，引导学生对比例1例2的不同和相同点，再给出问题：一共在圆形花池上栽多少课树？我放手让学生结组探索，再组织学生谈论汇报，让学生结合画线段图领会到例3问题就相当于一条直线上植树一端栽树一段不栽树的情况，提高学生找出解决问题方法能力。
（2）、线段图可以帮组学生准确区分和理解植树问题中的三种情形。通过例三学习学生认识到另一种画线段图的方法---封闭曲线，相当于直线植树的一种情况。学生学习植树问题也就产生了学习难点，容易将两端都不栽、两端都栽、一端不载一端栽三种情况混淆。为破解此难题，引导学生用线段图将三种情况画出来进行比较和联系，把它们分为两种数学模型，一种模型是只有一端栽树，另一种模型是两端不载或两端都不栽，方便学生记忆和应用。
（3）、
今后要进一步强化画线段图的教学
几何直观是课标的核心概念之一，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画示意图或线段图来解决植树问题，可以更直观理解、更好地发现规律，建立模型，找出解决问题的方法。教师在教学中要重视画线段图的方法，并通过多媒体直观演示辅助教学，突出“一一对应”思想，把间隔点数和栽树的棵数对应起来。之后让学生再用自己列举的数据进一步探究，教师可以出示统计表，学生将研究结果记录下来，利用统计表发现栽树的棵数和间隔数之间的规律。事实上，学生不用记每种模型的结论，遇到问题，
只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略的价值。
四、
研究达成的结论
1、本课题研究线段图的呈现方式主要有以下三种形式
线段图是指用一条或几条线段表示数量关系，使其阅读直观、表述准确、数据清晰，较好解决学生读懂难、难分析、数量关系难寻找的学习困难，从而使数学问题得以顺利解决。呈现方式有3种。
第一种单条线段图：如本文中设计到了植树问题两端都栽，两端都不栽，只有一端栽树的情况，还有相遇、追击问题、分段计费等实际问题，都是以单条线段图为主。
第二种是复式线段图（
左端务必对齐，便于分析比较）本文中的鸡兔同笼中假设法就属于此类。
第三种是方形线段图：如植树问题中的方阵问题
2、画线段图的策略有
⑴、长度适当。一般单条线段图长度在5厘米--8厘米之间，根据学生作业本宽度适合选择6厘米。复式线段图往往以两条线段图出现，一短一长，彼此之间有着从长度上体现出倍数关系，短的一般在1-2厘米之间。
⑵、线段图信息要与应用题条件密切对应。方向性的描述多数是以箭头出现在线段图中，需要精确表示的数据性的可以选择线段图中的刻度表示，概括性的数据则可以用大括号对应性的描述。人物或者物体的条件可以选择自己喜欢的图形在线段图上画出来。
⑶、在体现总量和部分之间的关系表述上，一般总量信息在线段图下面（复合线段图在侧面），部分的信息在线段图上面表示出来。这样非常便于学生发现数量之间的关系。
⑷、判断线段图是否正确可以这样做。画好的线段图基本上就是在描述一件事情，有时间、地点、人物、数据等信息，让学生观察线段图可以用自己语言叙述这件事情，描述完整、准确，基本上画出的图形就是完整的、正确的图形。
个人课题
课题论文
