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[转载]Abaqus单元的数学描述和积分——减缩积分

2016-03-18 19:28阅读：

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原文地址：Abaqus单元的数学描述和积分——减缩积分
原文作者：feafeafff

Abaqus单元的数学描述和积分——减缩积分
有道科技
只有四边形和六面体单元才能采用减缩积分方法；而所有的楔形体、四面体和三角形实体单元采用完全积分，尽管它们与减缩积分的六面体或四边形单元采用相同的网格。
减缩积分单元比完全积分单元在每个方向少用一个积分点。减缩积分的线性单元只在单元的中心有一个积分点。（实际上，在ABAQUS中这些一阶单元采用了更精确的均匀应变公式，即计算了单元应变分量的平均值。对于所讨论的这种区别并不重要。）对于减缩积分的四边形单元，积分点的位置如图4-7所示。

图4-7 采用减缩积分的二维单元的积分点
应用前面曾用到的四种单元的减缩积分形式和在图4-3所示的四种有限元网格，ABAQUS模拟了悬臂梁问题，其结果列于表4-2
中。
表4-2 采用减缩积分单元的梁挠度比值
单元
 网格尺寸（高度´长度）
1´6
 2´12
 4´12
 8´24
CPS4R
 20.3*
 1.308
 1.051
 1.012
CPS8R
 1.000
 1.000
 1.000
 1.000
C3D8R
 70.1*
 1.323
 1.063
 1.015
C3D20R
 0.999**
 1.000
 1.000
 1.000
* 没有刚度抵抗所加载荷，**在宽度方向使用了两个单元

线性的减缩积分单元由于存在着来自本身的所谓沙漏（hourglassing）数值问题而过于柔软。为了说明这个问题，再次考虑用单一减缩单元模拟受纯弯曲载荷的一小块材料（见图4-8）。

图4-8 受弯矩M的减缩积分线性单元的变形
单元中虚线的长度没有改变，它们之间的夹角也没有改变，这意味着在单元单个积分点上的所有应力分量均为零。由于单元变形没有产生应变能，这种变形的弯曲模式是如此一个零能量模式。由于单元在此模式下没有刚度，所以单元不能抵抗这种形式的变形。在粗划网格中，这种零能量模式会通过网格扩展，从而产生无意义的结果。
ABAQUS在一阶减缩积分单元中引入了一个小量的人工“沙漏刚度”以限制沙漏模式的扩展。在模型中应用的单元越多，这种刚度对沙漏模式的限制越有效，这说明只要合理地采用细划的网格，线性减缩积分单元可以给出可接受的结果。对多数问题而言，采用线性减缩积分单元的细划网格所产生的误差（见表4-2）是在一个可接受的范围之内。结果建议当采用这类单元模拟承受弯曲载荷的任何结构时，沿厚度方向上至少应采用四个单元。当沿梁的厚度方向采用单一线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于中性轴上，该模型是不能抵抗弯曲载荷的。（这种情况在表4-2中用*标出。）
线性减缩积分单元能够容忍扭曲变形；因此，在任何扭曲变形很大的模拟中可以采用网格细划的这类单元。
在ABAQUS/Standard中，二次减缩积分单元也有沙漏模式。然而，在正常的网格中这种模式几乎不能扩展，并且在网格足够加密时不会产生什么问题。由于沙漏，除非在梁的宽度上布置两个单元，C3D20R单元的1´6网格不收敛，但是，更细划的网格却收敛了，即便在宽度方向上只采用一个单元。即使在复杂应力状态下，二次减缩积分单元对自锁不敏感。因此，除了包含大应变的大位移模拟和某些类型的接触分析之外，这些单元一般是最普遍的应力/位移模拟的最佳选择。

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