《数学的领悟》读书笔记
2014-10-16 18:32阅读：
《数学的领悟》读书笔记
本书以生动具体的事例和“高观点”、“慢镜头”的笔法向我们作了极具启发性的说明。其基本精神在于：通过对解题过程的分析去领悟“怎样解题”，从大量的典型例题和小故事中提炼出基本的数学观点和精明的解题技术。内容涉及方程与函数、组合与分解、命题转换、差异分析、数形结分层讨论、层次解决、以及构造、对应、对称、一般化、特殊化、数字化、有序化、不变量等。其思想实质仍须深入领会。
1.1理解实质。
（1）对于教师，不能只教“这样解”，还应讲清“怎样解”；平庸的教师仅教人“这样解”，合格的教师还教人“怎样解”。
（2）对于学生，不应只满足于表面文字的学会，还要深入理解概念、原理、方法等的精神实质。
掌握一种思维方法，实在比具体发现一个新证明更加重要。
1.2看透本质
我们做题，首先要找到答案，这是基本的要求，但不是最终的目的。如果求出答案后不能把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来，就等于在原有的思维水平上简单重复、原地踏步而已。
抓住题目所隐含数学内容和思想的本质，把题目看透了，思维层次也随之而登上一个小小的台阶。
1.3优化素质
优化数学素质的主要途径是注重知识的发生过程，如概念的形成过程，定理的发现过程，证明的寻找过程等。对于解题来说，进行解题过程的分析是优化素质的一条捷径。
谁也无法教会我们所有的习题，但是，我们可以通过有限道题的实践、分析与本质把握，去领悟那种能解决无限个问题的数学机智。
2.1童年的梦想
学数学毕竟和学技艺不尽相同，一门技艺可以通过模仿与重复操练去掌握，而数学解题不是机械地重现数学基础知识和数学基本方法，还有综合而灵活地运用这些知识和方法，它在本质上是一个创造性的思维过程。知识虽然是形成智力的基础，但是知识的多少与智力的高低并不完全成正比例。
通过已知学未知，通过分析已经解过的题来领悟解题的思想，通过解题思想来驾驭知识与方法。
2.2解题的信息过程
对解题过程可以进行多方面的分析，如知识过程的分析，逻辑结构的分析，心理活动的分析，思维层次的分析，
等等。而最基本的是要掌握知识过程的分析。
解题思路的获得，包括下列“三位一体”的完整工作：
（1）从理解题意中捕捉有用的信息。主要是从题目的叙述中获取“符号信息”，从题目的图形中获取“形象信息”。
（2）从记忆储存中提取有关的信息。主要是找出相关的公式、定理、基本模式等解题依据。
（3）将上述的两组信息进行有效组合，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构。
这三件工作，都具有实践性和探索性的特征，所以拿到一个新问题时，我们不知道记忆中哪些是“有关的信息”，更不知道应按照怎样的顺序、结构把我们加工、组合起来。这就是困难，这就是重压在当代中学生心头的问号。
但是，我们毕竟明白了具体的困难在哪里，这实在是认识上的重大进展。为了学会“有用捕捉”、“有关提取”和“有效组合”，我们可以从解剖做过的题入手，看看究竟是怎样捕捉、怎样提取、怎样组合的，从而逐步培养自己分析问题和解决问题的能力。
自觉地、坚持不懈地进行这种信息过程的分析，将有效提高我们理解题意的能力，将综合提高我们运用知识、调动方法的能力。
2.3旧题新解
“从图形中提取、过滤出形象信息是平面几何的基本功。有时候，难就难在怎样提取，妙就妙在恰当过滤。”
2.4从不后悔
认识就是一个从无知到知，从知之甚少到知之较多的过程，我们感到欣慰，幸好数学没有万能的解题钥匙，否则给每个人的脖子上一挂，一切都万事大吉了，而数学也就死亡了。
数学的迷人之处恰好在于，它能提供无穷无尽的问题，向人类的智慧挑战。
3.1知道的越多不知道的也越多
这是一个古老的比喻，如果我们用一个圆的内部表示已经知道的东西，用圆周表示不知道的东西，那么，当我们知识增加时，圆的面积增大了，而周长也随之而增大。这就是说，旧问题的解决，导致了更多新问题的出现。这好像有点奇怪，其实是完全符合人的认识规律的，你的认识水平越高，你的理解越深刻，你所看到的问题也就越多，井底之蛙只能看到井口那么大的世界，而奔跑的骏马能领略大地的辽阔，高飞的雄鹰能感受宇宙的广袤。
德国著名数学家D.希尔伯特说过：“数学问题是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会取而代之。”
事实上，“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”是心理活动的外部表现，它恰好对应着人的复杂心理活动的三个环节：观察试验、联想转化、推理证明。
观察试验是前提，联想转化是关键，推理证明是完成。我们解题总是在细致观察、反复试验的基础上，进行广泛的联想、精巧的转化，最后用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明。
3.2观察、联想
为了从题意中迅速而准确地捕捉到有用的信息，我们一定要学会细致而深刻的观察。这主要有三条途径：
（1）数与式的特征观察。
（2）几何图形的结构观察。
（3）通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况。
3.3联想、转化
联想转化的朴素含义是，把待解决或未解决的问题，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题。这是一个非常有数学特征的思考方式。
“从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的。‘现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎么去做呢？’‘往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上。’‘你对问题的回答是正确的，现把所说的问题稍加修改，即假设水壶中已经盛满了水，而所说的问题中的其他情况都不变，试问，此时你应当怎样去做？’此时被问者一定会大声而颇有把握地回答说：‘点燃煤气，再把水壶放上去。’他确信这样的回答是正确的，但是更完善的回答应该是这样：‘只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家们却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就划归为前面所说的问题了。”——匈牙利著名数学家路莎·彼得
学数学的关键就是要掌握这样的思考能力，它的最终结果反而是次要的，有时候，越是简洁的结果，反而越是严严密密地掩盖着当初曲折而宝贵的真实思考过程。
3.4猜想、论证
解数学题离不开观察、联想和论证，科学的发现也是这样一个过程。
爱因斯坦说过：你能观察到眼前的什么现象，不仅取决于你的肉眼，还取决于你运用什么样的思维，思维决定了你到底能观察到什么。
第四章 向一代宗师学习
4.1波利亚的“怎样解题”表
怎样解题表
第一，你必须弄清问题。
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弄清问题
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未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
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画张图，引入适当的符号。
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把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？
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第二，找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。
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拟定计划
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你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
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你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
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看看未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题
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这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？
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你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
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回到定义去。
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如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题，你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
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你是否利用了所有的已知数据？是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
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第三，实行你的计划
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实现计划
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实现你的求解计划，检验每一步骤。
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你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
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第四，演算所得到的解
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回顾
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你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？
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你能不能把这结果或方法用于其他的问题？
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怎样解应用题表
第一：已知是什么？求解的是什么？
用字母表示未知数，并把它们看做已知数参加运算，写出有关代数式。
第二，找出所有的等量关系。
基本关系是什么？
相等关系是什么？哪些是通过关键词语明显给出的？哪些是条件之间的关系隐蔽限定的？哪些是由数学公式、物理定律提供的？哪些是变动中的不变量或不变性质所暗示的？
列个表，画张图。
第三，把题目中的已知数、未知数一齐代入等量关系中去，整理出方程。
单位统一了吗？
第四，解方程，写出解题过程，检验是否有实际意义。
再回想一下还有更好的解法吗？
第五章一个朴素的建议——差异分析法
如果我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差，那么解题的实质就在于设计一个目标差不断减小的过程，通过不断寻找目标差、不断减小目标差而完成解题的思考方法，我们称为差异分析法。
运用差异分析法要求我们做到三点：
第一，通过题目中所出现的元素、元素间所进行的运算，以及元素之间所存在的关系去找出差异。
第二，对于所找的的目标差，要运用基础知识和基本方法立即作出减小目标差的反应。
第三，减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差的减小能积累起来，以便逐步逼近乃至达到目标。
两个关键问题：从何处入手？向何方前进（个人觉得和我平时上课对学生讲的“由已知想可知，由未知想需知”还是比较相似的）
