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一次函数应用题求解策略（分段函数）

2014-12-18 11:02阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/5317491235

分段函数问题
⑴分段价格
例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以 内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．
设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图13所示． 一次函数应用题求解策略（分段函数）

（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
解析：（1）当 一次函数应用题求解策略（分段函数）时，有y=ax．将x=10，y=15代入，得a=1.5 ．
用8吨水应收水费8×1.5=12（元）．
（2）当x＞10时，有y=b（x-10）+15．将x=20，y=35 代入，得 35=10b+15
∴b=2 ．
故当x＞10时， y=2x-5．
（3）因1.5×10+1.5×10+2×4＜46 ， 所以甲、乙两家上月用水均超过10吨．
设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，
则 一次函数应用题求解策略（分段函数）
解之，得 一次函数应用题求解策略（分段函数）
故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．
解分段价格问题的一般策略：
⑴分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。
⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。
⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。
⑵几何图形中的动点
例4.（2008年长沙第25题）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（t秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
一次函数应用题求解策略（分段函数）
（1）s与t之间的函数关系式是 ；
（2）与图③相对应的P点的运动路径是： ；P点出发 秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.
解析：(1)由图象可知为正比例函数。 一次函数应用题求解策略（分段函数）(t≥0) 。
(2)由图象③，M纵坐标为0变为1， 则路径为：M→D→A→N， 10秒
(3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s； 当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1； 当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．（补全图象略）．
求解几何图形中的动点问题一般策略：
⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。
⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。
⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。

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