在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．www.21-cn-jy.com
1．如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
(第1题
新浪博客
在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．www.21-cn-jy.com
1．如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
(第1题
ont FACE='Times New Roman'>)
2．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.21cnjy.com
求证：∠ADC＝∠BDF.
(第2题)
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．21教育网
(第3题)
4．如图，在ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(第4题)
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
(第5题)
答案
1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)21世纪教育网版权所有
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在ABD和FBD中，
∠ADB＝∠FDB＝90°，
∴ABDFBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∠DFB＝∠1＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C.
(第1题)
2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
∴∠1＝∠2.
在ACD和CBG中，
∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴ACDCBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
点D为BC的中点，
∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
在BDF和BGF中，
BF＝BF，
∴BDFBGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
(第2题)
点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键．
3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∠ABE＝90°，∠D＝90°，
∴∠D＝∠ABH＝90°.
在ABH和ADF中，
BH＝DF，
∴ABHADF.
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.
BE＋DF＝EF，
∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在AEH和AEF中，EH＝EF，
∴AEHAEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝2∠HAF＝45°.
(第3题)
点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到ABH.
4．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
D为BC的中点，
∴CD＝BD.
又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
∴ADCEDB.
∴AC＝EB.
AB＋BE>AE，
∴AB＋AC>2AD.
(2)解：AB－BE＋BE，
∴AB－AC<2AD＋AC.
AB＝5，AC＝3，
∴2<2AD<8.
∴1
点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．
5．解：EF＝BE＋FD.
证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.
(第5题)
∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°.
在ABE与ADG中，
BE＝DG，
∴ABEADG.
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
又∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE＋∠FAD＝60°，
∴∠DAG＋∠FAD＝60°，
即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°.
在EAF与GAF中，
AF＝AF，
∴EAFGAF.∴EF＝GF＝FD＋DG.
∴EF＝FD＋BE.
点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．21·cn·jy·com
2．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.21cnjy.com
求证：∠ADC＝∠BDF.
(第2题)
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．21教育网
(第3题)
4．如图，在ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(第4题)
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
(第5题)
答案
1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)21世纪教育网版权所有
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在ABD和FBD中，
∠ADB＝∠FDB＝90°，
∴ABDFBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∠DFB＝∠1＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C.
(第1题)
2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
∴∠1＝∠2.
在ACD和CBG中，
∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴ACDCBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
点D为BC的中点，
∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
在BDF和BGF中，
BF＝BF，
∴BDFBGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
(第2题)
点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键．
3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∠ABE＝90°，∠D＝90°，
∴∠D＝∠ABH＝90°.
在ABH和ADF中，
BH＝DF，
∴ABHADF.
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.
BE＋DF＝EF，
∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在AEH和AEF中，EH＝EF，
∴AEHAEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝2∠HAF＝45°.
(第3题)
点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到ABH.
4．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
D为BC的中点，
∴CD＝BD.
又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
∴ADCEDB.
∴AC＝EB.
AB＋BE>AE，
∴AB＋AC>2AD.
(2)解：AB－BE＋BE，
∴AB－AC<2AD＋AC.
AB＝5，AC＝3，
∴2<2AD<8.
∴1
点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．
5．解：EF＝BE＋FD.
证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.
(第5题)
∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°.
在ABE与ADG中，
BE＝DG，
∴ABEADG.
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
又∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE＋∠FAD＝60°，
∴∠DAG＋∠FAD＝60°，
即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°.
在EAF与GAF中，
AF＝AF，
∴EAFGAF.∴EF＝GF＝FD＋DG.
∴EF＝FD＋BE.
点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．21·cn·jy·com