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正多角星形

2015-04-10 21:48阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/5509808887

小时候最喜欢画的图形就是五角星形了，我感觉自己可以画一下午，直到草稿纸都画不下。虽然有点无聊，但是后来看到以色列国旗上的六角星形和马士基公司的七角星形时，我对正多角星表现出了兴趣。现在开始总结一下吧，然后作一些简单的外推。
一、正多角星形与正多边形的关系
正多角星形一般由正多边形连接特定的对角线形成的。
以正五角星形为例。
正多角星形

二、正多角星形的分类、性质以及规律
按角数分可分为奇数角和偶数角，在这里奇偶性体现出不同的特点。奇数角包括5，7，9……偶数角6，8，10……（不存在3，4角星，从第一段的定义中可以看出）。由于5角星已由上图给出，下面以6，7，8
，9角星为例，探索规律。
三、六至九角星图例
6角星
正多角星形

7角星
正多角星形 正多角星形

8角星
正多角星形 正多角星形

9角星
正多角星形 正多角星形 正多角星形
四、命名规则

为了更好的研究这些图形，我定一套命名系统。【X-C/S-Y】
类似于6角星形的，由几个正多边形组成的为C（cross交叉）；
类似于7角星形的，可由一笔画完成的为S（successive连续，stroke笔画）；
然后X代表角的个数，这个简单。

4.1 在S的情况下：
Y代表多角星连线之间经过的点数（包括首尾）。如9角星中的第一个图，他们第一个点和第二个点之间经过了5个点，所以y=5；而第二个图经过了3个点，所以y=3；第三个图y=4；
4.2 在C的情况下：
y代表所用内多边形的边数，如六角星形为3；八角星形为4；
4.3 三个参数的规律：
当x为素数时，不存在C的情况。当x为合数时，必然存在C的情况。因为x=y*n（n表示内多边形的个数）。y不小于3，不大于[x/2]+1(S的情况)，=内多边形的边数（C的情况）。
介绍完命名规则，然后开始讲性质。
五、内角和规律：
5.1 S类
X是奇数时，如果y=[x/2]+1，内角和最小，都等于180度。（各角（圆周角）对应的圆心角之和等于周角。）；y每减少1，内角和增加360度（因为，y减少1，各边重复多2次）。X是偶数时，如果y=x/2，内角和最小，为360度。y每减少1，内角和增加360度。
5.2 C类
内角和好算，直接相加。这里给出正y边形的内角和公式：180*（y-2）。于是内角和为180*（y-2）*（x/y）。
列表如下：
角星
 5
 6
 7
 8
 9
命名
 5-S-3
 6-C-3
 7-S-4
 7-S-3
 8-C-4
 8-S-4
 9-S-5
 9-S-3
 9-C-3
内角和
 180
 360
 180
 540
 720
 360
 180
 900
 540

六、三个参数的关系
当研究9的时候，发现9-S-5之后的9-S-4是没有的，接下来就是9-S-3了，那么9-S-4哪里去了呢，其实它变成了9-C-3。为什么？
因为9-S-4造成了闭合的内多边形。因为当Y=4时，起点经过4点，包括首尾，到达第一个着陆点；再经过4点，也包括首尾，到达第二个着陆点，此时的着陆点位于第7点（包括首尾），然后再经过4点，也包括首尾，到达第三个着陆点，此时着陆点位于第10点（包括首尾），即第9点，即起点。因此闭合。于是当X+1=1+（Y-1）*m，即X=m*（Y-1）时，闭合。此时X-S-Y将变成X-C-[X/(Y-1)].
2016/1/4 更新：今天找到一篇维基上的相关页面，请参考。https://en.wikipedia.org/wiki/Star_polygon。

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