贝叶斯概率公式应用一——狼来了问题
2017-11-16 22:05阅读：
贝叶斯概率公式应用一——狼来了问题 问题描述:
狼来了问题：
合理假设：
（1）村民初始对小孩的信任度为0.8；
（2）可信的小孩说谎的可能性为0.1；
（3）不可信的小孩说谎的可能性为0.5；
小孩说两次谎后，他的可信度变为0.138，求如果这个孩子要改邪归正，他需要多少次才能把信任度提高到80%？
二、实验数据说明
1. 实验数据
a.事件A表示“小孩说谎”，用事件A*表示“小孩不说谎”；
b.事件B表示“小孩可信”，用事件A*表示“小孩不可信”；
事件
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P(B)
|
P（A/B）
|
P（A/B*）
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概率
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0.138
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0.1
|
0.5
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事件
|
P(B*)
|
P（A*/B）
|
P（A*/B*）
|
概率
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1-0.138
|
1-0.1
|
1-0.5
|
三、解决方案:
使用语言：python
原理：贝叶斯概率
思路：小孩不说谎后，使用贝叶斯概率公式，计算小孩每次真话后的可信度，记录小孩可信度首次超过0.8时的计算次数，即为结果。
步骤：
$1.设小孩当前的可信度P(B)为0.138,次数为0；
$2.使用贝叶斯概率公式
P(B/A*)=P(A*/B)*P(B)/(P(A*/B)*P(B)+P(A*/B*)*P(B*))
求小孩不说谎后的可信度；次数加一，小孩当前的可信度为P(B)=P(B/A*)；
$3.如果P（B）>=0.8,记录次数，结束；否则，执行$2.
四、结果如下：
(1) 表1.1列出了小孩初始可信度为0.8时，小孩说谎5次，每次说谎后的可信度；
说谎次数
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1
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2
|
3
|
4
|
5
|
可信度P(B)
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0.4444
|
0.1379
|
0.0310
|
0.0064
|
0.0013
|
表1.1
(2) 表1.2表示小孩连续说谎2次后，可信度为0.138时，小孩连续不说谎十次，每次不说谎后的可信度；
说谎次数
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1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
可信度P(B)
|
0.2237
|
0.3415
|
0.4828
|
0.6294
|
0.7516
|
说谎次数
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
可信度P(B)
|
0.8448
|
0.9074
|
0.9464
|
0.9695
|
0.9828
|
表1.2
(3) 图1.1左图显示了小孩说谎后的可信度的变化情况，右图显示了连续不说谎10次的可信度的变化情况；x轴表示不说谎次数，y轴表示可信度。
图1.1
结论：从表1.2可以看出，小孩改邪归正后，连续不说谎6次后的可信度可以达到0.8448，首次超过0.8。
python代码
import numpy as np;
import matplotlib.pyplot as plt;
def confidence_p_b_a(p_b,p_a_b,n):
#计算小孩说n次谎话，每次说谎后的可信度;
res=[];
i=1;
while i<=n:
p_a = np.multiply(p_b, p_a_b);
sum = np.sum(p_a);
p = p_a[0] / sum;
res.append(p)
#更新先验概率；
p_b=([p,1-p]);
i+=1;
return res;
def confidence_and_times(p_b,p_a1_b,n,pl):
#计算小孩说n次不说谎话，每次不说谎后的可信度;
res1=[];
i=1;
while i<=n:
p_a = np.multiply(p_b, p_a1_b);
sum = np.sum(p_a);
p = p_a[0] / sum;
#times记录最后一次可信度小于pl的不说谎的次数；
if
p< pl:
times=i;
res1.append(p)
#更新先验概率；
p_b=([p,1-p]);
i+=1;
return res1,times;
p_b=([0.8,0.2]);
p_a_b=([0.1,0.5]);
ax1=plt.subplot(121);
res=confidence_p_b_a(p_b,p_a_b,10);
plt.plot(np.arange(1,len(res)+1,1),res,'*-g')
plt.xlabel(u'说谎次数',fontproperties='SimHei');
plt.ylabel(u'可信度',fontproperties='SimHei');
ax1.set_title(u'小孩说谎后的可信度',fontproperties='SimHei');
print(res)
p_b2=([0.138,1-0.138]);
p_a1_b2=([1-0.1,1-0.5]);
[res1,times]=confidence_and_times(p_b2,p_a1_b2,10,0.8);
print('小孩',times+1,'次不说谎后的可信度首次超过0.8，可信度为：',res1[times]);
print(res1)
ax2=plt.subplot(122);
plt.plot(np.arange(1,len(res1)+1,1),res1,'*-b');
plt.plot(times+1,res1[times],'or');
plt.annotate(u'小孩可信度高于0.8',xy=(times+1,res1[times]),xytext=(times+1-0.2,res1[times]-0.2),arrowprops=
dict(facecolor='red',shrink=0.1,width=1),fontproperties='SimHei');
plt.xlabel(u'不说谎次数',fontproperties='SimHei');
plt.ylabel(u'可信度',fontproperties='SimHei');
ax2.set_title(u'小孩不说谎后的可信度',fontproperties='SimHei');
#plt.legend(prop={'family':'SimHei','size':15})#显示中文；
plt.show();
