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转动惯量与刚体定轴转动定律

2015-06-27 15:33阅读:
转动惯量与刚体定轴转动定律
先阐明几个概念:
刚体:简单的说,即形变可以忽略的物体。作为理想的物理模型,刚体的特征是有质量、大小和形状,而在处理时我们往往不考虑其形变(但有时会出现断裂、破碎或者磨损的情况)。
力矩:和力类似,并不好直接定义,可以简单的认为是力乘以力臂或者 转动惯量与刚体定轴转动定律(关于叉乘,请自行百度)。
转动惯量:度量转动时惯性的量。详见后文。

下面是准备工作:
定理:无外力系统内各质点相互作用的合力矩为 转动惯量与刚体定轴转动定律

证:
①考虑两个质点的系统:
转动惯量与刚体定轴转动定律
如图,

由牛顿第三定律,
转动惯量与刚体定轴转动定律 转动惯量与刚体定轴转动定律
而,合力矩= 转动惯量与刚体定轴转动定律

成立。
②假设,含k个质点的无外力系统其内力的合力矩为 转动惯量与刚体定轴转动定律

③对于含(k+1)个质点的无外力系统,
分为两组,一组含k个质点,另一组则为第(k+1)个质点。
k个质点的一组,其内力的合力矩为 转动惯量与刚体定轴转动定律
而该组任一质点与第(k+1)个质点的相互作用合力矩也为 转动惯量与刚体定轴转动定律
故含(k+1)个质点的无外力系统其内力的合力矩为 转动惯量与刚体定轴转动定律
因而,无外力系统内各质点相互作用的合力矩为 转动惯量与刚体定轴转动定律
推论:对系统施加 转动惯量与刚体定轴转动定律的外力矩,有 转动惯量与刚体定轴转动定律
转动惯量与刚体定轴转动定律为系统内第i个质点所受力矩。)
证:
将施加外力的质点纳入系统,由上,
则有, 转动惯量与刚体定轴转动定律
故, 转动惯量与刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律: 转动惯量与刚体定轴转动定律
转动惯量与刚体定轴转动定律为合外力矩, 转动惯量与刚体定轴转动定律为角加速度,I为转动惯量(见下)。)

①考虑只有一个质点,
转动惯量与刚体定轴转动定律

由牛顿第二定律:
转动惯量与刚体定轴转动定律
(其中, 转动惯量与刚体定轴转动定律

转动惯量与刚体定轴转动定律1
②考虑多个质点时,
对于系统中第i个质点,
转动惯量与刚体定轴转动定律(同一刚体角加速度相同)
转动惯量与刚体定轴转动定律
③对于连续物体,
则, 转动惯量与刚体定轴转动定律

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