一、典题探究
例1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
例2、已知正三角形内切圆的半径是高的
例1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
| ； ； ； ． |
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，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________．
例3、某校对文明班的评选设计了
五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样
来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为
. 我们可以归纳出，对 也成立的类似不等式为_____________．
二、演练方阵
A档（巩固专练）
1．下列说法正确的是( )[来源:Zxxk.Com]
2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
3．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB| ＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆[来源:学+科+网][来源:Z。xx。k.Com]
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
4．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论( )
A．f(2n)>
C．f(2n)≥
5．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有两个棱长均为 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为
6．已知 的三边长为 ，内切圆半径为 （用 ），则 ；类比这一结论有：若三棱锥 的内切球半径为 ，则三棱锥体积
7．在平面直角坐标系中，直线一般方程为 ，圆心在 的圆的一般方程为 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在 的球的一般方程为______________________．
8．对大于或等于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式：
根据上述分解规律，则 , 若 的分解中最小的数是73，则 的值为
9．（1）已知等差数列 ， （ ），求证： 仍为等差数列；
（2）已知等比数列 ， （ ），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
10．（1）已知等差数列的定义为:在一个数 列中，从第二项起,如果每一项与它的前 一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：
（2） 已知数列 是等和数列，且 ，公和为 ，那么 的值为____________．
B档（提升精练）
1．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则 直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
C．推理形式错误
2．若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为h，则( )
A．h>h1＋h2＋h3
C．h<<I style='mso-bidi-font-style: normal'>h1＋h2＋h3
3．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数 应是( )
A．25
C．91
4．观察下列数表规律
则从数2009到2010的箭头方向是( )
5．把正有理数排序：，，，，，，，，，，…，则数所在的位置序号是___________．
6．已知等差数列{an}中，a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，那么等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________ _成立．
7．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为_____________．
8．下图中的线段规则排列，试猜想第8个图形中的线段条数为________．
9．将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数 ，对任意 均满足 ，当且仅当 时等号成立。
（1）若定义在(0，＋∞)上的函数 ∈M，试比较 与 大小.
（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.．
10．观察下列等式：
①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；
②sin26°＋cos236°＋ sin6°cos36°＝.
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．
C档（跨越导练）
1．观察下列等式： 根据上述规律，第五个等式为
2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 ，则它们的面积比为 ，类似的在空间中，若两个正四面体的棱长比为 ，则它们体积比为
3．观察下列各式; 则 的末四位数字为( )
4．设函数 观察：
根据以上事实，由归纳推理可得：
当 且 时，
5． “因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝()x是指数函数(小前提)，所以y＝( )x是增函数( 结论)”，上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
6．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n个三角形数为( )
A．n B.n(n＋1)
C．n2－1
7．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2011(x)＝ ( )
A．－sin x
8．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
9．下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．
(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．
(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图有2008个顶点，且围成了2008个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数．
10．将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．
来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为
. 我们可以归纳出，对 也成立的类似不等式为_____________．
二、演练方阵
A档（巩固专练）
1．下列说法正确的是( )[来源:Zxxk.Com]
2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
3．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB| ＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆[来源:学+科+网][来源:Z。xx。k.Com]
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
4．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论( )
A．f(2n)>
C．f(2n)≥
5．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有两个棱长均为 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为
6．已知 的三边长为 ，内切圆半径为 （用 ），则 ；类比这一结论有：若三棱锥 的内切球半径为 ，则三棱锥体积
7．在平面直角坐标系中，直线一般方程为 ，圆心在 的圆的一般方程为 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在 的球的一般方程为______________________．
8．对大于或等于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式：
根据上述分解规律，则 , 若 的分解中最小的数是73，则 的值为
9．（1）已知等差数列 ， （ ），求证： 仍为等差数列；
（2）已知等比数列 ， （ ），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
10．（1）已知等差数列的定义为:在一个数 列中，从第二项起,如果每一项与它的前 一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：
（2） 已知数列 是等和数列，且 ，公和为 ，那么 的值为____________．
B档（提升精练）
1．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则 直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
C．推理形式错误
2．若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为h，则( )
A．h>h1＋h2＋h3
C．h<<I style='mso-bidi-font-style: normal'>h1＋h2＋h3
3．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数 应是( )
A．25
C．91
4．观察下列数表规律
则从数2009到2010的箭头方向是( )
5．把正有理数排序：，，，，，，，，，，…，则数所在的位置序号是___________．
6．已知等差数列{an}中，a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，那么等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________ _成立．
7．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为_____________．
8．下图中的线段规则排列，试猜想第8个图形中的线段条数为________．
9．将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数 ，对任意 均满足 ，当且仅当 时等号成立。
（1）若定义在(0，＋∞)上的函数 ∈M，试比较 与 大小.
（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.．
10．观察下列等式：
①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；
②sin26°＋cos236°＋ sin6°cos36°＝.
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．
C档（跨越导练）
1．观察下列等式： 根据上述规律，第五个等式为
2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 ，则它们的面积比为 ，类似的在空间中，若两个正四面体的棱长比为 ，则它们体积比为
3．观察下列各式; 则 的末四位数字为( )
4．设函数 观察：
根据以上事实，由归纳推理可得：
当 且 时，
5． “因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝()x是指数函数(小前提)，所以y＝( )x是增函数( 结论)”，上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
6．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n个三角形数为( )
A．n B.n(n＋1)
C．n2－1
7．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2011(x)＝ ( )
A．－sin x
8．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
9．下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．
(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．
| 顶点数 |
边数 |
区域数 |
|
| (a) |
4 |
6[来源:学科网] |
3 |
| (b) |
[来源:学#科#网Z#X#X#K] |
||
| (c) |
|||
| (d) |
(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图有2008个顶点，且围成了2008个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数．
10．将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．