初中数学中的折叠问题
2016-03-23 09:51阅读：1,449
初中数学中的折叠问题
折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。其实对于折叠问题，我们要明白：
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．
4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解；或运用相似三角形性质求解；或用解直角三角形知识求解。
现对在初中数学中经常涉及到的三角形的折叠、矩形（正方形）的折叠、其他四边形的折叠、圆的折叠、抛物线的折叠的典型问题进行讲解，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
一．三角形中的折叠
三角形中的折叠考点有：三角形内角和定理、平行线的性质、等腰三角形性质、线段垂直平分的性质和判定、三角形的中位线、相似三角形的性质、解直角三角形等。
1.
（2012广东梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A&p
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rime;重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【
】
A．150° B．210° C．105° D．75°
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。
【分析】法一：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。故选A。
法二：连接A A′,可证∠1+∠2=∠CAB+∠E
A′D=75°+75°=150°
2．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
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A．
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25°
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B．
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30°
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C．
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35°
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D．
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40°
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考点：
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翻折变换（折叠问题）．3718684
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分析：
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先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
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解答：
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解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°﹣25°=65°，
∵△CDB′由△CDB翻折而成，
∴∠CB′D=∠B=65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．
故选D．
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点评：
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本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
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3.2013 烟台中考17题
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
考点：
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线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
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分析：
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连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
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解答：
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解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．
故答案为：108．
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点评：
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本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
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4.
（2012湖南岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD= ．
【答案】。
【考点】翻折变换（折叠问题）。运用勾股定理解决
【分析】法一，如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴。
∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2。
设BD=ED=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x，
在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4﹣x）2=x2+4，解得：x=。∴BD=。
法二，根据△CED∽△CBA，对应边成比例求DE长，从而求出BD长。
法三，根据三角函数求DE长，从而求出BD长。
5.2013 资阳中考
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是
．
考点：
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轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．
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分析：
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连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，先求出BC和BE长，代入求出即可．
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解答：
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解：连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BE+BC，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=60°，DE=1，
∴BE=，BD=，
即BC=1+，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∴AB=2BC=2×（1+）=2+，
AC=BC=+2，
∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，
故答案为：1+．
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点评：
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本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，，关键是求出P点的位置,
应用含30度角的直角三角形性质解决问题，题目比较好，难度适中．
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6. （2012内蒙古包头）如图，将△ABC 纸片的一角沿DE向下翻折，使点A 落在BC
边上的A ′点处，且DE∥BC ，下列结论：
① ∠AED＝∠C；
② ；
③ BC= 2DE ；
④ 。
其中正确结论的个数是 个。
【答案】4。
【考点】折叠问题，折叠对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，三角形中位线定理，全等、相似三角形的判定和性质。
【分析】①∵DE∥BC，∴根据两直线平行，同位角相等，得∠AED＝∠C。∴①正确。
②∵根据折叠对称的性质，A ′D=AD，A ′E=AE。
∵DE∥BC，∴根据两直线分线段成比例定理，得。∴。∴②正确。
③连接A
A ′，
∵根据折叠对称的性质，A ，A ′关于DE对称。
∴A A ′⊥DE。
∵DE∥BC，∴A A ′⊥BC。
∵A ′D=AD，∴∠DA A ′＝∠D A ′A。
∴∠DB A ′＝∠D A ′B。∴BD= A
′D。∴BD=AD。
∴DE是△ABC的中位线。∴BC= 2DE。∴③正确。
④∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE。
∵由③BC= 2DE，∴。
∵根据折叠对称的性质，△ADE≌△A′DE。∴。
∴，即。∴④正确。
综上所述，正确结论的个数是4个。
7. 2013上海中考
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．
考点：
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翻折变换（折叠问题）．3824674
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专题：
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压轴题．
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分析：
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首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．
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解答：
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解：过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵AB=AC，BC=8，tanC=，
∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过B′点作B′E⊥BC于点E，
∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，
设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，
∴x2=（6﹣x）2+32，
解得：x=，
直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．
故答案为：．
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点评：
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此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．
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8.
（2012河南省）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为
【答案】1或2。
9.2013 潍坊中考
如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若∽，则=__________.
答案：3.2
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC2=
AB2-BC2 = 102-62=64，∴AC=8。设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE=DE=DE1=A1E1=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC
=DF：BC ，
即2x：8
=DF：6 ，解得DF=1.5x，
在Rt△DE1F中，E1F2=
DF2+DE12 = 3.25 x 2
，
又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F:A1E1
=BE1 :E1F ，∴E1F2=A1E1•BE1，
即3.25x2=x（10-3x），解得x=1.6
，∴AD的长为2×1.6 =3.2．
考点：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换，折叠，勾股定理，相似三角形的对应边成比例.
点评：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．
二、矩形、正方形中的折叠
类型（一）沿对角线折叠
基本图形 :全等三角形 相似三角形
等腰三角形 等腰梯形
多根据直角三角形运用勾股定理解决问题。
1. 2013 （湖州中考）
如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（ ）
考点：
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矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
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分析：
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根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出=，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
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解答：
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解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF=CF，
∴AE﹣AF=CD﹣CF，
即DF=EF，
∴=，又∵∠AFC=∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴==，
设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，
在Rt△ADF中，AD===4x，
又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴==．
故选A．
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点评：
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本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
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2.
（2012广东省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C′=∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C′，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，
∴△ABG≌△C′DG（ASA）。
（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。
设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=。
∴。
（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=AD=4。
∴tan∠ABG=tan∠ADE=。∴EH=HD×=4×。
∵EF⊥AD，AB⊥AD，∴EF∥AB ，又∵EF平分AD
，∴HF是△ABD的中位线。∴HF=AB=×6=3。
∴EF=EH+HF=。
【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。
【分析】（1）根据翻折变换的性质和矩形的性质可知∠C′=∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。
（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。
类型（二）折痕过顶点，对应点落在一边上
基本图形 ：全等三角形 相似三角形
解决问题方法，根据勾股定理或用相似三角形性质解决。
1．（2012黑龙江）如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD=8，且△AFD的面积为60，则△DEC的
面积为
【答案】。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，BC=AD=8，CD=AB。
∵△AFD的面积为60，即AD•AF=60，解得：AF=15。
∴。
由折叠的性质，得：CD=CF=17。∴AB=17。∴BF=AB－AF=17－15=2。
设CE=x，则EF=CE=x，BE=BC－CE=8－x，
在Rt△BEF中，EF2=BF2＋BE2，即x2=22＋（8－x）2，解得：x=，即CE=，
∴△DEC的面积为：
CD•CE=×17×。
2.（2012山东菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
【分析】先根据勾股定理求出BE的长，从而可得出CE的长，求出E点坐标。在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，从而得出D点坐标。
【答案】依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，，
∴CE=4，∴E（4，8）。
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
又∵DE=OD，∴（8﹣OD）2+42=OD2。∴OD=5。∴D（0，5）。
【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理。
3. 2013 泸州中考
如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=3/4，那么该矩形的周长为（ ）
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A．
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72cm
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B．
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36cm
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C．
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20cm
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D．
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16cm
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考点：
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矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
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分析：
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根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据tan∠EFC=，设BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根据tan∠EFC=表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解．
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解答：
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解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵tan∠EFC=，
∴设BF=3x、AB=4x，
在Rt△ABF中，AF===5x，
∴AD=BC=5x，
∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x，
∵tan∠EFC=，
∴CE=CF•tan∠EFC=2x•=1.5x，
∴DE=CD﹣CE=4x﹣1.5x=2.5x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即（5x）2+（2.5x）2=（10）2，
整理得，x2=16，
解得x=4，
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，
矩形的周长=2（16+20）=72cm．
故选A．
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点评：
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本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．
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4.（2013日照）
如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________.
答案：
解析：半圆的半径为3，所以，AB＝CD＝3，D＝AD＝6，
C＝3，B＝6－3，设AE＝x，在直角三角形EB中，
（3－x）2＋（6－3）2＝x2，解得：x＝12－6，tan∠ADE＝，所以，∠ADE＝15°，∠ADF＝30°，∠AOF＝60°，
S半圆AD＝，S扇形AOF＝，
S△DOF＝，
所以，阴影部分面积为：
类型（三）折痕过顶点，对应点落在矩形内（或在对角线上）
1.（2012四川达州）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为
.
【答案】。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，菱形和矩形的性质，勾股定理。
【分析】设BD与EF交于点O。
∵四边形BEDF是菱形，∴OB=OD=BD。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°。
设CD=x，根据折叠的性质得：OB=OD= CD=x，即BD=2x，
在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。
∴AB=CD=。
可以解直角三角形
2.（2012福建南平）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【
】
A．
B．
C．
D．3
【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。
设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。
在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：。
∴DF= ，EF=1＋。故选B。
3.2013连云港
在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为为菱形，且AB=2，求BC的长．
考点：
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矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
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分析：
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（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．
（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．
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解答：
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（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF= ∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：∵四边形BFDE为为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=2，
∴AE==，BE=2AE=，
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2．
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点评：
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本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
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4. （河南2013）
如图，矩形中，,点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当△为直角三角形时，的长为
