百分比、分数、比例三者关系
2017-04-13 18:38阅读：32
分数的定义：分数表示一个数是另一个数的几分之几,或一个事件所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。百分数也叫做百分率或百分比，通常不写成分数的形式，而采用百分号（%）来表示
比例的定义：两个数相除，又叫做这两个数的比
百分数和比的区别：1.百分数是一种特殊的比，记一个百分数为a%，则它可以表示成a:100，但如果记一个比为c:d，c可以是任意数，d可以是不为0的任意数
2.比可以表示多个量的关系，比如2：3：1，百分数却做不到
百分数和分数的区别：意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。
例子：能说7/10米，也能说1米的70%，但不能说70%米
分数和比的区别：1.和百分数类似，比不能表示一个具体的数值，而分数可以
2.比可以表示多个量的关系，比如2：3：1，分数却做不到
三者的联系：三者都是除法的衍生物，都能表示量之间的比例关系。
百分数与分数的区别在于意义不同，表示的范围和书写不同。
分数表示一个数也可以表示一个量，一个分率：2/3、2/3小时、女生占全班人数的4/7.
百分数只能表示 一个数是另一个数的百分之几的关系。（它的后面没单位名称）
比与分数：
比表示两个数之间的一种关系，
分数表示一种数
比例这部分知识，是在学习了除法、分数、百分比的基础上要学习的，属于概念教学。比例，数量之间的对比关系，两种（或三种、多种）相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，可以看成是“模型”。还会涉及到解比例、正反
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比例，为接触对应函数思想做准确。
比如：4元买5个本子，8元买几个？这个问题学生马上就给出了思路：先求一个本子的单价，然后用8除以单价。可是问学生如果从比例的角度呢？很多学生很茫然。
针对 这种现象我就在想：这里为什么要体现用比例解决这些问题呢？有什么价值呢？
对用正反比例解决问题的思考
一、问题的提出
最近教学到用正反比例解决问题的内容时，许多学生都问：“老师能不能用算术方法呢?”这个问题让我陷入了深思,学生们为什么不喜欢用正反比例(方程)知识解决问题？
二、原因分析
1、避繁就简
用正反比例方法解决问题要比“
算术法”麻烦，因为用正反比例(方程)方法解决应用题时要将未知数假设为x,整个解答过程中，书写的步骤比较多，学生都认为“算术法”比它要简单。如：教材上用反比例方法解决应用题例4，一艘货轮每小时航行20千米，6小时可以到达目的地。如果要5小时到达，每小时应航行多少千米?用“
算术法” 20 × 6÷ 5=24(千米),答每小时应航行24千米。 用“比例方法”解：设每小时应航行 X 千米?
5 ×X =20×6
两者比较,
用反比例方法解决显得“麻烦”多了。
2、解决问题的难度不大.
学生学习“用正反比例方法解决应用题”， 将未知数假设为x，将逆向思维的问题转化为顺向思维。让学生体会到除了“
算术法”还能用比例知识解决。对于学生来说，无法体会其优越性。如教材中用正比例方法解决应用题例1，一列火车3小时行使255千米，照这样计算，从甲地到乙地共行使了8小时，
甲乙两地长多少千米?
3、新知识没掌握,
用正反比例(方程)方法解决应用题,关键能正确判断两个量成什么比例关系？
方列出对应的比例式，所以有些学生不是不喜欢“用比例”，而是确实“不会使用”。（我的思考：一语中的，关键是有的学生不会判断是否成比例，成什么比例，这一点在复习时还要加强）
1．明白学习用比例解决问题的目的。
教学用比例解决解决应用题时，告诉大家：“今天我们学习的应用题非常简单，大家都会，但是我们今天要学习新的一种方法来解决问题。用比例方法解决问题也许看起来比较麻烦，但是它会开拓我们的解题思路，为我们以后的学习带来很大的帮助。
2．体验到它的优越性
有优越性才会有学习的积极性和动力，当有些题中的数量关系比较复杂时，用算术方法比较困难，而用比例（方程）来做就比较得心应手。所以在教学中，应努力使学生体会比例（方程）的优越性。
五星红旗旗面长宽比例关系是3:2。
石灰和土的最佳体积比为3∶7（三七灰土，魏晋南北朝时代就有明确记载）
三合土材料：泥土、熟石灰、沙。
碎石三合土（天然砂）：1：2：4或1：3：6或1：4：8；
卵石三合土（天然砂）垫层：比例同上；
碎砖（特细砂）三合土垫层：比例同上；
糯米、红糖和黄土混合比例
民间流传，三合土的配方主要有三种：石灰、黏土和糯米；红糖、黄土和糯米；河底泥、贝壳粉、鸡蛋清、糯米汁、树胶五合一。三合土的配方靠口口相传，不同的地区都有不同的配方，关键是看配比——石灰跟黄土的配比一般是四六开，或者是三七分；沙石少一点，大概占一成；然后还要掺入一点桐油和糯米浆，主要是起黏合作用，相当于混凝土里面的水泥浆。
黄金比例（以下简称“黄金比”）约为： 0.618:1（4:6或3:7）
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广
油条原料之间比例关系：
春秋：1斤面，温水6两，盐1.6钱，碱3.4钱，矾3钱；
夏季：1斤面，凉水6两，盐2钱，碱3.8钱，矾3.2钱；
冬季：1斤面，温水7两，盐1.4钱，碱3.2钱，矾2.8钱。
黄帝内经，女男之间年岁的7:8比例关系。
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。
函数一共有多少种，我也知道的不全，只把中学阶段接触到的说一下吧：
1、正比例函数；2、反比例函数；3、一次函数；4、二次函数；5、三角函数（一共有8种，初中学了4种，高中学了6种）
包括：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割
6、指数函数
7、对数函数
如果你上大学学的是数学专业，你还会接触至少20种以上的函数！
易错题1：一项工程，原计划25天完成，实际只用了20天。问题1：工作时间缩短了百分之几？问题2：工作效率提高了百分之几？
典型错误：
（1）问题1：（25-20）/20
（2） 问题2：（25-20）/25（认为与问题1的正确答案是一样的。）
错因分析：
（1）单位“1”没有找准，没有明确工作时间的单位“1”是原计划25天，工作效率的单位“1”是原计划工作效率1/25。
（2）学生对于什么是工作效率?不是很理解。
采取措施：
（1）让学生把问题先描述具体，问题1：实际的工作时间比计划缩短了百分之几？问题2：实际的工作效率比计划提高了百分之几？然后找准单位“1”和比较量，题目就简单了。
（2）问题2，首先让学生明白什么是工作效率，工作总量/工作时间=工作效率，工作总量不知道就可以用“1”来代替，其余的方法与问题1是一样做的。
（3）引导学生比较，这两个题目是不一样的，因为他们的单位1的量是不同的，所以答案也是不可能一样的。
百分数的应用题,关键是找单位'1'.单位'1'.是已知条件,就用乘法计算.单位'1'.不知道,就用方程解或用除法计算.注意找准对应的百分数.
百分比解决无法比较的问题
易错题2：商场内有一种空调打八折出售，后因天气转热，又提价20%。现在的售价是原定价的百分之几？
典型错误：
0.8/（1+20%）
错因分析：
对于题目的意思还是没有真正理解，不知道单位“1”的量，学生无从下手的也不在少数。
采取措施：
（1）采取举例法，假设空调原价为100元（或1000元等），打八折后空调价格是100*80%=80（元），后来又在80元的基础上提价20%，就是80*（1+20%）=96（元），最后96/100=96%，现在的售价是原定价的96%。
（2）原定价是单位“1”，不知道价格，就把原定价看成是1，打八折后空调价格是1*80%=80%，后来又在80%的基础上提价20%，就是80%*（1+20%）=0.96=96%，现在的售价是原定价的96%。
补充练习：
（1）一种商品，先提价20%，再降价20%后，现价与原价相等吗？问什么？
（2）如果这种商品先降价20%，再提价20%呢？
分析：这道题有两种分析思路，一种是举例的方法，通过计算答案进行比较，也是较易理解的一种方法，要求每名学生必须掌握。另一种方法是从意义去考虑，（1）中提价20%是最开始价格的20%，而降价的20%是提高后价钱的
20%，因为提高后的20%比最开始的20%要多，所以可以理解先提的价钱少，后降的价钱多，得出结论，最后的价钱比原来价格低。(2)是对知识和方法的再次应用，巩固学生的分析方法，使学生更好的掌握知识，并能够合理应用所学
知识。
易错题3：边长为1厘米的正方形周长是边长是2厘米的正方形周长的（
）%；边长为1厘米的正方形面积是边长是2厘米的正方形面积的（
）%。
典型错误：50% ；50%。
正确答案：50%；25%。
错因分析：
（1）学生把周长的计算与面积的计算混合在一起。
（2）正方形的周长和面积计算公式的遗忘。
采取措施：
（1）帮学生回忆正方形和面积的计算公式。
（2）让学生先分别计算两个正方形的周长，计算好百分比，再让学生分别计算出两个正方形的面积，计算好百分比。
补充练习：
判断：圆面积扩大16倍，则圆的周长扩大4倍。
（ ）
让学生先判断，再说出这么判断的理由。正确答案：对。
(二)复习应用题
1．某工厂八月份计划造一批机床，开工8天就造了56台，照这样速度到月底可生产多少台？
第一步，先找对应关系：
8天——56台
31天——？台
第二步，判断成什么比例？(每天生产的台数一定，成正比例。)
请你在对应关系的旁边写上“正”字，决定用正比例方法做。
解 设到月底可生产x台。
x=217
答：照这样速度月底可生产217台。
2．一批纸张，钉成20页一本的练习本，能钉600本。如果钉成24页一本的练习本，能钉多少本？
第一步，先找对应关系：
20页——600本
24页——？本
第二步，判断成什么比例？(纸张总页数一定，成反比例。)
请你在对应关系的旁边写上“反”字，决定用反比例方法做。
解 钉成24页一本的练习本，可钉x本。
24x=20×600
x=500
答：如果钉成24页一本的练习本可钉500本。
学生独立地用老师教的分析应用题的思路和方法在本上做两道题。
(1)火车3小时行135千米，用同样的速度5小时可以行多少千米？
(2)有一批砖，25人去搬，6小时搬完，如果30人去搬，需要多少小时搬完？
(三)练习解答两步的比例应用题
1．李涛读一本书，每天读6页，30天可以读完。如果每天多读4页，多少天可以读完？
黑板上的对应关系变成：
解 设x天读完。
(6＋4)x=6×30
10x=6×30
x=18
答：18天可以读完。
2．在第1题的基础上，改变问题。
李涛读一本书，每天读6页，30天可以读完，如果每天多读4页，提前几天读完？
对应关系：
解 设如果每天多读4页，x天读完。
(6＋4)x=6×30
10x=6×30
x=18
30－18=12(天)
答：提前12天读完。
(指导学生分析、比较。)
以上两道题，什么发生了变化？什么没有变？(条件和问题发生了变化，使原来的题复杂了一步，但用反比例解的方法没有变。)
练习(学生独立分析，做题。)
1．一辆汽车从甲城开往乙城，3小时行驶105km。用同样的速度又行驶了1.2h到达乙城，甲城到乙城有多少千米？
解 设甲城到乙城有x千米。
3x=105×(3＋1.2)
x=147
答：甲城到乙城有147km。
2．光明乡有144公顷水稻，5天收割了90公顷，照这样计算，剩下的几天可以收割完？
解 设剩下的x天可以收割完。
90x=5×54
x＝3
答：剩下的3天可以收割完。
(再用间接设的方法做两道题。)
1．纺织厂的织布车间过去每人看16台织布机，每班需要42人，现在改进操作方法，每人看24台。每班可以节约几人？
16×42=24x
42－x
2．某机器厂原计划每天生产机器48台，15天可以完成任务，现在要12天完成任务，每天应增产多少台？
12x=48×15
x－48
(四)总结
这节课我们主要复习了解正、反比例应用题的分析、思考方法。拿到应用题不要急于先做，要先读题，找出对应关系，判断是正比例还是反比例，就可以正确解答了。
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