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用几何描述引力—广义相对论思想（一）

2016-01-18 13:12阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/5595108736

引言

1、本文的目的

1916年爱因斯坦发表了论文“广义相对论的基础”，广义相对论在天体物理研究领域中宇宙的结构及演化的问题上有着广泛的应用，对人类的思想和自然科学的发展产生了深刻的影响。被赞誉为：“在现有的物理理论中，它或许是最美丽的”。分析爱因斯坦在狭义相对论基础上创建广义相对论的思路，对我们学习爱因斯坦的思想方法大有俾益。然而，在广义相对论发表100年后的今天，仍然鲜有人理解广义相对论的思想。对于普通大众而言，头脑中被普及到的“科学”也仅是牛顿力学的一些东西而已，这在科学迅速发展的今天已显得太过落后了。
其实，广义相对论并不是只有科学家才能理解的高深课题。只要我们把目标设为了解广义相对论的核心思路和结论，而不是追求繁杂的数学计算，那么每个人都是能够掌握广义相对论思想的。因此，用通俗的语言，形象的插图，把广
SPAN>的核心思路向大家普及，达到人人能懂的目的，相当于是做了一件善事。当然，文中也会涉及一些简单的方程，供有相应水平的读者深入探索所需。不过暂时不懂的读者可以先把它作为一幅插图看待，只需了解了它是做什么的，力图掌握文中的核心思想就可以了。
本文由我过去做广义相对论通俗讲座的PPT课件修改而成。文中会有一些来自网络的内容和图片素材，在这里对原作者一并表示感谢！

2、爱因斯坦简介

用几何描述引力—广义相对论思想（一）Albert Einstein
阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein，1879年3月14日-1955年4月18日），是著名的德国犹太裔理论物理学家、思想家及哲学家，也是狭义相对论的创立者。
阿尔伯特·爱因斯坦被誉为是现代物理学之父及20世纪最重要的科学家之一。
用几何描述引力—广义相对论思想（一）Albert Einstein
1915年爱因斯坦又将狭义相对论原理向非惯性系进行推广，建立了广义相对论，进一步揭示了时间、空间、物质、运动和引力之间的统一性质。

一、狭义相对论的困惑​

爱因斯坦于1905年9月在《物理纪事》上发表了《论动体的电动力学》这篇划时代的论文，宣告了狭义相对论的诞生。但随着研究的深入，爱因斯坦对自己建立的狭义相对论并不满意，他注意到了狭义相对论存在的三个重要的局限性：

1、狭义相对论仍不能解释惯性系的特殊性优越性问题

处于相对静止或匀速运动状态的坐标系称为惯性系。
爱因斯坦创立了狭义相对论，并提出了两条基本原理：相对性原理和光速不变原理。根据基本原理，推导出新的时空变换关系－洛伦茲变换。在新的时空变换关系中，运动方程在不同的惯性系中是形式不变的，麦克斯韦电动力学方程组在不同的惯性系中数学形式相同，电磁规律对所有的惯性系都是等价的。但是，若将同一物理现象放在非惯性系中描述，其力学方程将发生改变，这就产生了一个问题：“惯性参照系是否在物理上具有特殊的性质和较其他参照系更为优越呢？”其实早在狭义相对论创立之前，物理学家牛顿、马赫都曾意识到惯性系和非惯性系的不一致，并试图解决它，但没有成功。爱因斯坦发现在狭义相对论的范畴内，仍然无法解决惯性系的特殊性优越性问题。
爱因斯坦敏锐地意识到这是物理学中一个历史性的难题和挑战，并认为这是经典力学、狭义相对论都“固有的认识论上的缺点”。解决这个困难，出路只有两条：要么从理论上阐明惯性坐标系特殊、优越的物理原因，要么从理论上消除惯性坐标系特殊、优越的物理地位。爱因斯坦选择了第二条出路，就是扩大狭义相对论原理的物理内容。

2、“刚性”时空度规不能解决非惯性系中的问题

在经典力学中，时间和空间是各自独立且绝对的。在狭义相对论中，时间和空间虽然统一到一起，形成了一个四维时空，然而它也是均匀的、各向同性的。狭义相对论摆脱了绝对时空观的束缚，确立了同时性的相对性，时间间隔的相对性和空间长度测量与参照系运动状态有关等新的时空观。然而，在同一参照系中，仍按统一的测量标准测量时间与长度，这意味着狭义相对论中仍具有刚性的尺和同步的时钟，其空-时度规的性质仍是“刚性”的。
爱因斯坦在研究中发现，当我们处在一个非惯性系内的时候，大范畴内平直的坐标空间概念已经失效，不能够用到处同步的钟和到处一样长度且与取向无关的尺，狭义相对论所依附的时空度规不能解决非惯性系的问题。

3、狭义相对论不能解决引力现象问题

爱因斯坦通过狭义相对论，把电场与磁场统一起来，把质量和能量统一起来，把牛顿力学方程作了相对论修正，使之与麦克斯韦方程协调起来了接着，爱因斯坦想把引力现象也纳入狭义相对论的范畴。他作了初步尝试后发现这是不可能的。因为物体的质量是它所含能量的量度，若物体的能量改变E，那么质量也要改变E/c。按这个结论，物体的惯性质量将随其能量而变，因而落体的加速度将同它的水平速度或者物体的内能有关。这不符合在引力场中的一切物体都具有同一加速度的实验事实。
1907年，爱因斯坦已经认识到：“在狭义相对论的框架里，是不可能有令人满意的引力理论的。”，是时候该发展一种新的理论了。

二、等效原理​

1、历史上等效原理的证明

历史上伽利略、牛顿、Besel等所进行的实验研究，尤其是著名的Etitvs扭摆实验，都表明：惯性质量恒等于引力质量。
在牛顿引力理论中，地球表面的物体受到地球的引力​
用几何描述引力—广义相对论思想（一）
真空中在一给定地点做自由下落的所有物体加速度相同的事实，表明各种物体的引力质量与惯性质量有严格的正比关系。后来，物理学家又证实了引力质量等于惯性质量。

​2、爱因斯坦的思想实验

爱因斯坦对升降机进行了一系列的思想实验。
用几何描述引力—广义相对论思想（一）
如图所示，在一个封闭的电梯中，你无法区分你所在的系统是静止地处在引力场中或是处于外空间的加速运动之中。这导致引力场的作用等效于加速运动。引力质量等于惯性质量。引力场中的惯性系等价于一个非惯性系，这提示我们惯性系和非惯性系之间不存在本质的区别。​

3、等效原理

爱因斯坦对升降机进行了一系列的思想实验之后，把实验结果归纳为：“引力场同参照系的相当的加速度在物理上完全等价。”从而建立了把相对原理推广到加速度的非惯性系的“等效原理”。
1907年，爱因斯坦在“关于相对论原理和由此得出的结论”一文中，首次提出了等效原理的假设：“引力场同参照系相当的加速度在物理上完全等价。”他说：“这个假说的启发性意义在于，它允许用一个均匀加速参照系来代替一个均匀引力场。”
就像在狭义相对论中，仅利用光速不变的事实和相对性原理就导出整个狭义相对论论一样，爱因斯坦决心以惯性质量与引力质量相等这一事实出发，来寻求新的引力理论。
因此，由等效原理我们看到，只要解决了引力理论问题，也就解决了把狭义相对论向非惯性系推广的问题。

三、广义协变性原理​

1、洛伦茲协变性应扩充

在参照系变换下物理规律方程形式不变的性质称为协变性。
在狭义相对论中，在惯性系之间具有洛伦茲变换的协变性。在狭义相对论中，虽然不同的参照系之间不存在统一的尺子和时钟，但在同一参照系中，仍保持着统一的时间和长度的测量标准，即具有刚性的尺和同步的钟。
在1907年的论文中，爱因斯坦又把狭义相对性原理作了相应的推广，第一次正式提出：“迄今为止，我们只把相对性原理，即认为自然规律同参照系的状况无关这一假设应用于非加速参照系。是否可以设想，相对性运动原理对于相互做加速运动的参照系也仍然成立？”
　 爱因斯坦敏锐地认识到，实际的引力场并不是均匀的，当将等效原理加以推广时，人们只能将局部点的引力场等效于不变的加速度，而这个加速度的大小从一点到另一点却是变化的。“爱因斯坦升降机”不能在大范围中取代实际的引力场的作用。从而，对于物理定律来说，不能仅限于满足洛仑兹变换的协变性（这对应于速度的相对性），而应扩大为更普遍的非线性变换协变性（这对应着加速度的相对性以及与引力场之间的等效性），即应把洛仑兹变换推广为非线性变换。

2、什么是广义协变性原理

爱因斯坦在谈到当时的认识情况时曾写道：“接受了等效原理所要求的非线性变换，对于坐标的简单的物理解释无可避免是致命的…”“对于这个问题的关键，在于建立柔性的时空度规概念．在这方面，海尔曼·闵可夫斯基关于狭义相对论形成基础的分析显得很重要．”这是从狭义相对论的数学原理表示，走向广义相对论数学表示的一个桥梁。
　　爱因斯坦把惯性系的“刚性”时空推广到加速参照系或引力场的“柔件”时空，完成了认识上新的飞跃．
爱因斯坦运用“柔性”空-时度规按等效原理的要求把相对性原理推广到非惯性系。在理论上表述为“广义协变原理”：“自然界的普遍规律，是由那些对一切坐标系都有效的——即对于无论那种坐标代换都是协变的方程式来表示的．”现在一般记述为：自然定律在任何参照系中都可以表示为相同的数学形式。

3、用泊松方程举例

狭义相对论的结论是物理规律在洛仑兹变换下具有协变性。为了推广到非惯性系和惯性系之间的变换，物理定律应该在广义坐标变换下保持协变。这种变换应该是4维时空中的任意(非线性)坐标变换。
物理规律对所有参照系都是等价的。就像在不同的坐标系中电场或磁场的梯度、散度、旋度的表达公式可能不同，但它们的物理意义是相同的。从而，无论在哪个坐标系中，泊松方程的形式都是一致的。即场强矢量的梯度的散度等于场源或汇的强度。
1)直角坐标系下的梯度、散度、旋度和泊松方程。
2)柱坐标系下的梯度、散度、旋度和泊松方程。
3)球坐标系下的梯度、散度、旋度和泊松方程。
4)任意曲线坐标系下的梯度、散度、旋度和泊松方程。

​四、从“刚性”时空走向“柔性”时空

1、逆变分量和协变分量

用几何描述引力—广义相对论思想（一）
用几何描述引力—广义相对论思想（一）
用几何描述引力—广义相对论思想（一）

3、度规张量决定了时空的性质​

用几何描述引力—广义相对论思想（一）
于是，对于加速参照系或引力场就等效原理与惯性系相比，其基本区别表现在，前者具有一种柔性的时空度规(即黎曼度规)，而后者，只是前者的一个特殊情况——刚性的时空度规(即准欧几里得度规)。
因此，研究度规gμν的数学性质及物理意义，就成为解决引力问题、推广狭义相对论，建立更广泛、更普遍的新理论的关键。这就需要转向数学，研究罗巴切夫斯基、闵可夫斯基、高斯、黎曼等人的非欧几何。
1912年爱因斯坦邀请他的老同学苏黎世工业大学数学教授马尔塞耳·格罗曼(Marcel Grossmann，1878 –1936)进行合作研究。
用几何描述引力—广义相对论思想（一） Marcel Grossmann
（未完待续），遨游我心_健康，2013.09.26原稿，2016.01.18修改
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