从空间观到推理意识的培养——以《性急的蚂蚁》一课为例

2023-05-29 11:05阅读：

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从空间观到推理意识的培养——以《性急的蚂蚁》一课为例

追寻数学本质 2023-05-29 06:01 发表于山东
数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。日常的数学教学活动不应只局限于知识的过手和当前问题的解决，更要着眼于学生的未来发展需求，关注学生数学核心素养的培育。日常教学活动的开展如何兼顾学生核心素养的养成？下面就以《性急的蚂蚁》为例，谈谈日常教学活动中核心素养培育路径的挖掘与实施。
一、深读教材，由线及面，挖掘核心素养培养点位
要实现核心素养的培育，首先要读懂教材编排中蕴藏的核心素养点位。数学教材文本的呈现一般是线性的，以显性的知识线索展开，隐性的核心素养培养线索需要教师在深度解读中体会，让知识的达成与核心素养培育形成相互交织的网状结构。即：对教材的理解不要只限于基本知识层面，而要以基本知识目标的达成为基础，对教材内涵进行多维度解读，找到让学生知识能力和核心素养生长都得到发展的路径，对教材文本的解读才有价值。
比如：五年级下期，学生在学习完长方体、正方体表面积后，积累了大量长方体、正方体展开与折叠的活动经验。但在解决具体的图形问题时，多数学生将平面图形问题和立体图形问题截然分开进行思考。这与学生缺乏空间观念有关，更与缺乏平面思维解决立体图形问题的经验有关。
绘本《性急的蚂蚁》的编写就是对这个问题的补充和完善。从绘本呈现的内容看，绘本故事的知识主线很简单，就是从线、

面、体三个维度寻找两点间的最短路径，引导学生关注立体图形的展开方法和展开类型，并通过展开后的两点之间连线解释立体图形上的最短路线问题。但这样的解读显然太过简单，没有完全体现绘本的价值。如果进一步解读，可以发现编者更想表达的是：数学结论的得出仅凭感觉和经验是远远不够的，要引导学生进行科学的验证、理性的分析或解释，确定结论的可靠性，促进学生推理意识和推理能力发展。
具体到绘本的教学实施，就是要引导学生在寻找最短路径的过程中，体会立体图形问题也有可能需要回到平面图形进行研究，感受平面与立体的关系，发展空间观念，提升图形研究的能力。在教学设计中我们还可以进一步考虑，在具体的研究活动中如何培养学生的科学研究精神和研究方法，引导学生体会问题探索过程的科学性和严谨性，培养学生的推理意识，发展推理能力。这样文本就有了“基本知识—空间观念—推理意识—研究方法”等诸多内涵，课堂教学也就有了深度和宽度。
二、深耕课堂，由面到体，让核心素养培育有迹可循
课堂教学的实施是核心素养培育的重要路径。课堂教学活动就是把平面的文本教材变成立体的教学活动，把静态的教与学的分析过程变成动态的探究活动，让不同认知层次的“人”在更高的认知层次上达成一致，使参与教学活动的师生在基本知识、技能、核心素养等各方面都获得生长，课堂才能真正“立”起来。显性基本知识和基本技能的目标达成是比较容易的，那么，隐性的核心素养培育目标如何达成呢？《性急的蚂蚁》设计与实施就分别从推理意识、空间观念、问题研究方法对学生核心素养进行了渗透和培育。
1. 亲历问题的发现、探究、解决的完整过程，培育推理意识和能力 推理意识培养就是要把感性认识变成理性思考，推理能力培养就是让我们对客观事物和数学现象推之有据，言之有理。课堂教学需要创设情况引导学生发现问题，提出猜想，科学地进行验证、分析，形成合理的解释；感受数学的严谨性、科学性，养成良好的推理习惯。这种推理的意识和习惯不是通过教授可以达成的，而是学生在亲历完整的探究过程中“悟”得。
【教学片段1】 学生根据已有的认知基础解释了同线、同面两点间的最短路径后，在设计异面两点最短路线时，出现了两种不同的路线。教师收集学生画的两种结果（见图1），询问：这两种走法哪条更短呢？说说自己的想法，看能不能说服别人认可你设计的路线。
生1：第一种走法A—C—E：A到C是两点之间线段最短，C到E也是两点之间线段最短；第二种走法A—O—E：AO比AC更短。生2：但是OE又比CE长啊？……师：看来用语言说服别人还有些困难，怎么才能确定那条路线更短？生3：用尺子量，用绳子绕……
【设计意图】出现分歧后，教师并没有提供解决方案，而是引导学生“说”服别人，从而发现过去的经验无法解释新问题了。因为说服别人凭“经验”是不行的，用“事实”说话才有说服力，学生在“说”不清楚时，能想到“做”清楚，难能可贵。这不就是推理意识和习惯的培养吗？
【教学片段2】 量一量：学生测量，汇报结果，比较长度。师：测量是个好办法，很容易找出更短的线路。但是小蚂蚁的问题（找“最”短路线）解决了吗？生：好像没有。只比较出了两条之间谁更短。师（PPT展示BC上更多的点）：BC之间有无数的点，你能确定通过O点就是最短的吗？生：好像也不能。师：接下来的任务就是确定这个“点”的具体位置了。拉一拉：师生合作演示用绳子拉。操作一：沿路线A—C—E拉紧绳子，按住A、E两端。拨动绳子，观察绳子与棱BC之间的缝隙。师：你有什么发现？（体会越靠近中间的路线可能越短）操作二：通过A—O—E拉紧绳子，按住A、E两端，请学生向左右拨动。师：拨动容易吗？你想到了什么？引导学生猜想：过BC中间一点可能是最短路线。师：能确定过中间一点就是最短的吗？
生：不能。师：看来直接在立体图形上研究最短路线问题的确很困难啊！虽然前面的研究无法确定最短路线，但是通过这些研究活动，我们还是可以进行合理猜想的。猜猜最短路线会通过BC上的哪一点？生：中点。
【设计意图】这两次操作活动在对最短路线的合情推理过程中有不同的作用。量一量：比较了两条路线的长短，还发现通过BC中间某一点更短。拉一拉：通过绳子松紧与路线长短间的联系，完成了最短路线是通过BC“中点”的“合理”猜想，从凭“感觉”试到“合理”猜想，但这也是向着科学的推理进步。教师最后再次询问“能确定过中间一点就是最短的吗”，进一步体现推理的严谨性、科学性，更是在培养学生良好推理习惯。
【教学片段3】 学生再画猜想中（通过BC中点）的最短路线后。师追问：你能确定大家现在画的就是最短路线吗？怎么才能确定它就是最短的？生：现在不能确定，展开成平面图形后可以确定。学生展开后发现“四类”展开图呈现出所画路线都是一条线段，且两点之间线段最短。师：展开前后，路线变长了吗？变短了吗？生：没有变化。
【设计意图】在经历发现问题、随机猜想尝试、实验验证，再到合理猜想、线段公理验证后，整个研究过程形成一个严密封闭的逻辑环。学生完成了从感觉正确到理性证明的过程，收获的不仅是问题的解决更是推理意识、习惯和能力的发展。正如有学生在谈收获时说道：“解决问题不能依靠‘感觉’，‘感觉’不一定对，要有合理解释才可信。”
2. 亲历二维三维的转换过程，体会平面与立体的关联，培育空间观念 空间观念培育需要学会想象，想象的基础是表象的积累，需要有目的观察与操作。上述教学环节中学生分别从线、面、体进行了大量观察和操作活动，积累了图形操作经验，体会到了平面与立体的关系；感受到了立体图形上研究问题的不容易，体会到立体图形问题回归平面图形上进行研究更简单。
【教学片段4】 下图分别是四个正方体的展开图。A点上的蚂蚁想快速吃到B点上的食物。请帮助小蚂蚁选择一条最短的路线。学生根据前面认知经验，大部分学生直接连接AB。教师引导学生质疑图和图。教师引导学生把展开图折叠成正方体验证，并出示PPT动态演示折叠后的两点位置关系。师：为什么这一次利用平面图形找正方体上的最短路线问题不灵了？是我们刚才的方法有错误吗？生：不是，是我们展开的方法不对，师：利用展开图确定立体图形最短路线时，怎么做才能确保准确？生：利用平面展开图解决立体图形最短路线时，不能只关注平面图形，还需要结合立体图形进行分析，使问题的解决更全面。只有结合平面展开图和立体图形进行研究，就能使结果更准确。
【设计意图】在上一教学环节中，学生感受了平面思维解决立体图形的便捷性，这个环节是引导学生将立体图形和平面图结合起来看问题，不可偏废，形成兼顾的思想。
图形问题的研究是发展学生空间观念的重要题材。从整体上看本课以研究“最短路线问题”为主线，通过二维的认知经验与三维“体”上问题之间的矛盾冲突，引导学生在平面与立体中互相转换，建立平面图形与立体图形间的联系，形成平面、立体兼顾的意识，促进学生空间观念的发展。这种从立体到平面、平面再回到立体问题的研究方式不仅有效推动学生空间观念的发展，也发展了学生空间推理能力。正如有学生在课后谈收获时说道：“今天我学会了用二维的思想解决三维的问题，将来我还可能用三维的办法思考四维的问题。”
3. 亲历质疑中完善结论的过程，培育科学的研究精神和研究方法 课堂教学中，教师应善于给学生挖“坑”。学生在大大小小的“坑”中不停跌倒再爬起的过程中，养成科学研究精神和研究方法。如：学生发现用“两点之间线段最短”很容易解释同线、同面最短路线问题，但在直接解释立体图形上最短路线时，却没有足够的说服力。在经历说一说、量一量、拉一拉一系列活动后，学生终于体会到立体图形问题回归到平面图形上研究更简单更方便。此时教师又挖“坑”，让大家在用平面思维解决立体图形问题上犯新错误。学生在量一量活动中经过同桌合作、集体讨论，终于比较出了两条线路的长短。但还没来得及兴奋，教师又引导大家发现“怎么走‘最’短”这个根本问题并没有被解决。再通过拉一拉活动中的对比、分析、猜想、验证等一系列思考后，终于发现了“通过BC中点的路线是最短的”，但此时教师继续“挖坑”，要求学生找到确认其正确性的办法……教师正是通过制造一系列矛盾冲突，引导学生在“发现问题—解决问题—产生新问题—解决新问题”的循环过程中，达成对基本知识的内化，渗透空间观念，培养推理能力。从无数“坑”中爬起来的学生，其看待问题的方式也从片面到全面，从感性到理性，从盲从到独立思考，思维层次一步步从低阶到高阶。
日常教学活动中核心素养的培育路径没有确定的模式，不同的教学内容也有不同的实施路径。坚持从教材文本的阅读开始就有意识地进行思考，总能找到适合学生核心素养发展的最佳实施路径。
一堂有价值的课堂都遵循着一个基本的规律：教学活动的展开总是从师生间认识上的巨大差距开始的，教学活动的开展就是使双方的认知距离越来越小，最后在更高层次上达成一致。这就是说一堂课的价值高低取决于三个维度，教材内涵的解读宽度、教学目标的高度和学生素养生长的长度（见图3）。其中，学生的认知发展水平和已有知识经验基础是相对确定的，所以教师对教材的内涵解读越宽，立意越高，双方的初始距离就越大，教学效益就有基本的保障；教学目标制订及教学活动展开的方式越贴近学生的基本发展规律，就越容易在更高层次上与学生达成一致；三条线若能两两相接，就确定了一个“面”，线越长，获得面积就越大，师生获得的生长层次就越高。
（全文完）

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