温度场模拟

2017-07-23 18:04阅读：

一、热传导方程

二、数值解(有限差分格式)

二、边界条件
物体内部的温度场必然受到物体表面条件的影响。因此为了数值求解，还必须建立边界的差分方程。
边界条件分类

：
第一类：给定边界温度。
第二类：给定边界热流密度。例如用打火机对某块金属的某处表面加热。

1、热流密度是什么？
单位时间内，通过物体单位横截面积上的热量。
2、热流密度如何计算？
常用的热源模型是高斯热源模型。公式如下

第三类：给定边界的对流换热条件。例如某块金属置于空气或是水中，如果二者接触的表面温度不同那么金属的表面就存在着对流换热。

第四类：混合边界，现实里经常是第二类边界和第三类边界混合。

四、隐式方程
前面步骤已经得到了热传导方程的显式方程，但是显式方程是有稳定条件的，我们需要的是一个无条件稳定版本的热传导方程。

这是一个线性方程组，为了方便理解，假设差分网格是3x3的，如下图所示：

同理三维隐式热传导方程如下：

五、雅可比迭代法（简单迭代法）
已经得到热传导方程的隐式差分格式，它是一个线性方程组，本文用雅可比迭代法来求解。

注：对角矩阵的逆矩阵只需将对角上的元素取倒数即可。

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