小白学统计（64）独立性和一致性的卡方检验—列联表分析方法
2019-01-30 09:33阅读：
卡方检验的应用
卡方检验即可以分析一个变量的拟合程度，如拟合优度检验（二项分布、泊松分布和正态分布）还可以用来分析两个变量间的关系：是否相互独立，是否来自一个总体。对于两个变量关系的分析方法与在拟合优度中的方法略有差别，这里适用了一种称为列联表的表格来进行分析。
列联表
所谓列联表就是一个行列交叉的表格。将研究的两个变量，一个变量按类分行排列，另一个变量按类分列排列，行列交叉处是同属于两个变量不同类的数据。这样的表格称为列联表。如下表所示：
| 列联表 |
|
变量A |
合计 |
| A1 |
A2 |
… |
Ac |
| 变量B |
B1 |
11 |
12 |
… |
1c |
1. |
| B |
2
| 21 |
22 |
… |
2c |
2. |
| … |
… |
… |
|
… |
… |
| Br |
r1 |
r2 |
… |
rc |
r. |
| 合计 |
.1 |
.2 |
… |
.c |
|
上表就是列联表的形式，表示研究A、B两个变量，A变量有c类，B变量有r类。通常用i表示行，用j表示列，则i=1, 2, …, r;
j=1, 2, …,c;
ij表示第i行和第j列的频数，n表示总的频数，也就是样本容量。
在上述列联表中，频数n
ij是指实际频数。为了检验两个变量是否独立，还需要计算每一个行列的期望频数。我们在之前的篇章中有介绍，如果事件A和事件B相互独立，则有P(A∩B)=P(A)*P(B)。根据这个原理，现在我们作如下假设：
H
0: 两个变量相互独立;
H
1: 两个变量不独立;
则在H
0为真时，第i行的B
i与第j列的A
j的期望频数就应等于P(A
i)*P(B
j)。
我们用P(A
j)=
.j/，P(B
i)=
i./n分别代替P(A
j)和P(B
i)。所以在H
0为真时，第i行第j列的期望概率为：P(A
j∩B
i)=
.j/*
i./
用样本容量n分别乘以不同行列的期望频率，就可以得到期望频数e
ij。第i行第j列的期望频数为：e
ij=*
i./*
.j/=
i..j/
即：e
ij=第i行频数合计×第j列频数合计/样本容量。
最后将实际频数n
ij与期望频数e
ij进行比较，判断方法与进行拟合优度时类似，即构造χ
2统计量。最后将实际频数n
ij与期望频数e
ij进行比较，判断方法与进行拟合优度时类似，即构造χ
2统计量：
该χ
2统计量服从自由度为(r-1)(c-1)的卡方分布。当χ
2<χ
α2[(r-1)(c-1)]时，拒绝H
0，接受H
1。在进行χ
2检验时，仍要注意当各行列的期望频数小于5时，不能使用列联表检验。或者在有意义的情况下合并行和列，或加大样本容量，使各行列的期望频数要大于等于5。
