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浅谈初中数学习题拓展变式

2017-07-25 10:21阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/5983684713

浅谈初中数学习题拓展变式
数学与应用数学 赖伟豪 指导老师：杨安生（讲师）
惠州学院数学系，广东，惠州，516007

摘要：数学课上不仅要进行知识的传授，而且要重视数学思维能力的培养及个性品质的形成。这就需要学生积极参与课堂教学，变被动接受为主动探究，真正发挥学生的主体作用，在课堂中教师根据教学内容精心设计例题及一些变式题组可以起到事半功倍的作用。利用变式教学可以展示知识的发生过程，促进知识的迁移，同时能提高学生学习积极性，培养参与意识，还沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成，强化定理公式的条件和适用范围，培养严谨思维。
每年的下半学期，我最大的感觉是时间紧、教学内容多，满堂灌都讲不完，而且学生掌握得非常不好，学习理论指出：在学习过程中新知识的输入、同化和操作取决于原有的认知结构，因而原有的认知结构对新知识的学习具有制约作用。一般而言，当新、旧知识之间跨度较小，相互容纳时，学习就能顺利进行。反之，当新知识和学生的原认知结构脱节时就必然形成学习的难点。这就需要教师结合学生的实际利用变式教学在学生学习过程中起到一个过渡和支架的作用。
新课程的理念不仅重视知识的传授，而且是思维能力的培养及个性品质的形成。这就需要调动学生学习的主动性，发挥学生的主体作用，为学生创设一个的宽松环境，使不同的学生都有所收获，满足不同学生的不同需要。这也是很多教育工作者一直在做的一项工作。然而多数均以无果而终。在教学中我发现对课本上的例题或课后习题进行变式，对教师解决以上问题会有所帮助。
在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地把教学过程施行为数学思维活动的过程，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索
的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。
通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。
通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。
通过变式训练，可以帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，搞清问题的内涵和外延，提高数学能力。
“变式训练”的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。
关键字：一题多思 一题多解 一题多变 多题一法 设计猜想
一、 一题多思，培养学生思维的灵活性
数学中的公式、法则、定理是数学知识中的重要内容，它们是解决数学问题的重要理论基础，必须让学生灵活，熟练的掌握。在教学中我们要善于利用变式训练引导学生掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律，使学生能加深理解和灵活运用。
如在学习圆的切线的判定定理时，对定理“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的讲授我就采用了变式训练，以帮助学生多方位灵活理解和掌握。我给学生强调了定理中的关键要素：过半径外端、垂直 ，出示变式判断题，并给出图示说明，让学生理解正误的原因。
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(×)图1
(2)垂直于半径的直线是圆的切线． (×)图2
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(√)图3
浅谈初中数学习题拓展变式 浅谈初中数学习题拓展变式 浅谈初中数学习题拓展变式



图1 图2 图3
通过上面的变式判断，学生很轻松的掌握了切线的判定定理，避免了机械背诵、生搬硬套，又从多方位理解了定理的实质，增加了思维的灵活性。还有如对完全平方公式“ 浅谈初中数学习题拓展变式”的新课讲授时我设置了如下的变式训练：
计算：(1) 浅谈初中数学习题拓展变式 , (2) 浅谈初中数学习题拓展变式 ,
(3) 浅谈初中数学习题拓展变式 ,(4) 浅谈初中数学习题拓展变式 。
计算中的(1)、(2)是直接运用公式，熟练公式；(3)主要是让学生理解可以把“ 浅谈初中数学习题拓展变式”看做公式中的“ 浅谈初中数学习题拓展变式”套入和的完全平方公式或者把“ 浅谈初中数学习题拓展变式”看做公式中的“ 浅谈初中数学习题拓展变式” ，“ 浅谈初中数学习题拓展变式”看做公式中的“ 浅谈初中数学习题拓展变式”套入差的完全平方公式；(4)可以让学生把“ 浅谈初中数学习题拓展变式”看做公式中的“ 浅谈初中数学习题拓展变式” 套入差的完全平方公式或者先变形为“ 浅谈初中数学习题拓展变式”再计算。通过这几个计算可以让学生灵活准确的确定公式中的 浅谈初中数学习题拓展变式和 浅谈初中数学习题拓展变式并正确选择公式，正确计算。
这些训练由浅入深，实实在在的增强了学生对完全平方公式的内化理解，提高了对公式熟练应用的程度。
二、一题多解，培养学生思维的创新能力
在数学的题解过程中,提倡一题多解,通过一题多解培养学生思维的深刻性、灵活性，用多种方法解题,可以开阔学生的思维面,使学生的思维呈放射状，久而久之学生思考问题时就能左右逢源,就会有一定的深度,解题时就能灵活地选择一些简便方法。这样，学生的创新能力就会逐步得到培养和锻炼。

例如，在讲解下面一道几何题时，我通过设疑激思，引导学生复习了全等三角形、相似三角形、勾股定理、平行四边形等相关几何知识，并和学生一起总结归纳此种习题的解题规律和方法。
已知，如图，□ABCD中，AE⊥BC于E， AF⊥CD于F，FG⊥AE于G，EH⊥AF于H，连接AC、EF、AM，若AC=20，EF=16，求AM的长.
浅谈初中数学习题拓展变式
解法一：（勾股定理解法）
∵ FG⊥AE AF⊥CD
∴ AM=AG 浅谈初中数学习题拓展变式+GM 浅谈初中数学习题拓展变式=AF 浅谈初中数学习题拓展变式-GF 浅谈初中数学习题拓展变式+EM 浅谈初中数学习题拓展变式-EG 浅谈初中数学习题拓展变式
=AC 浅谈初中数学习题拓展变式-CF 浅谈初中数学习题拓展变式-(EF 浅谈初中数学习题拓展变式-EG 浅谈初中数学习题拓展变式)+EM 浅谈初中数学习题拓展变式-EG 浅谈初中数学习题拓展变式 =AC 浅谈初中数学习题拓展变式-CF 浅谈初中数学习题拓展变式-EF 浅谈初中数学习题拓展变式+EM 浅谈初中数学习题拓展变式
∵AE⊥BC, AF⊥CD , FG⊥AE, EH⊥AF
∴ CD∥EF,BC∥FG
∴ 四边形EMFC是平行四边形
∴EM=CF
∴AM 浅谈初中数学习题拓展变式=AC 浅谈初中数学习题拓展变式-CF 浅谈初中数学习题拓展变式-EF 浅谈初中数学习题拓展变式+EM 浅谈初中数学习题拓展变式=AC 浅谈初中数学习题拓展变式-EF 浅谈初中数学习题拓展变式=20 浅谈初中数学习题拓展变式-16 浅谈初中数学习题拓展变式=144
∴AM=12
解法二：（相似法）
浅谈初中数学习题拓展变式
∵Rt△AFC和Rt△AEC有公共斜边AC
∴四个点A、F、C、E到斜边AC的中点的距离都相等,都等于斜边AC的一半
∴四点A、F、C、E在以AC为直径的一个圆上
∴∠CEF=∠CAF
∵AE⊥BC, FG⊥AE
∴BC∥FG
∴∠CEF=∠EFG
∴∠EFG=∠CAE
∵∠EGF=∠CFA=90°
∴△EFG∽△CAF
∴ 浅谈初中数学习题拓展变式
∴ 浅谈初中数学习题拓展变式
∵三角形的三条高线交于一点
∴AM⊥EF
∴∠GAM=∠EFG
∴△AMG∽△EFG
∴ 浅谈初中数学习题拓展变式
∴ 浅谈初中数学习题拓展变式
∴AM=12
以上两种方法是利用勾股定理和相似三角形的方法进行求解的，这两种方法是初中几何问题中求解线段长度问题的常用方法，学生基本都有思路。教师只要适当点拨，学生就可顺利完成，获得初步成功体验后，多数学生跃跃欲试，想探讨更多的解法。此时教师适时点拨：可不可以通过引适当的辅助线，使问题简单化、明朗化呢？因为已知线段AC和EF与所求线段AM不在一个三角形或四边形中，你是怎么想的呢？经过老师的点拨同学们好像眼前一亮，都开始了自己的探索。经过大家的集思广议，又得到如下八种解法。
解法三:过点M作MN∥EF交CD于N点，并连接AN. 浅谈初中数学习题拓展变式 浅谈初中数学习题拓展变式
（解法三图） （解法四图）
∵EH⊥AF, AF⊥CD
∴EH∥CD
∴四边形EFNM为平行四边行
∴MN=EF=16 ,EM=FN
∵由解法一知：四边形EMFC是平行四边形
∴EM=CF
∴CF=FN
∵AF⊥CN
∴AN=AC
∵△AEF的高线EH与FG交于一点M
∴AM⊥EF
∵EF∥MN
∴AM⊥MN
在Rt△AMN中由勾股定理知：
AM 浅谈初中数学习题拓展变式=AN 浅谈初中数学习题拓展变式-MN 浅谈初中数学习题拓展变式=AC 浅谈初中数学习题拓展变式-EF 浅谈初中数学习题拓展变式==20 浅谈初中数学习题拓展变式-16 浅谈初中数学习题拓展变式=144
∴AM=12
解法四：过M点作线段EF的平行线交线段CB(或CB的延长线)于N点,连接AN
首先:证出四边形MNEF为平行四边形可得MN=EF=16
其次:证出AN=AC=20
再次:证出AM⊥MN方法同上
最后由勾股定理求出AM=12
解法五、六：
过A点作KN∥EF,FN∥AE,EK∥AF,连接MN,MK
可证四边形ANFE和四边形AKEF为平行四边形
∴AN=AK=EF=16
同上方法可证AM⊥KN
由△MFN≌△CEA(SAS)可证MN=AC=20
由勾股定理得AM=12
同理我们还可以分别过E点、F点作线段AM的平行线，还可以有四种方法求出线段AM的长。通过师生共同努力我们探究出十种求线段AM长的方法。
根据现代心理学的观点,一个人创造能力的大小,一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。在教学中,我通过一题多解、培养学生的发散思维能力。在以上十种求解方法中，我引导学生从多角度，全方位去思考，去分析已知与未知之间的关系，在特定的条件下培养了培养学生的创新能力。 浅谈初中数学习题拓展变式
三、一题多变，培养学生思维的发散性
一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
例如：已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示）
求证：AN=BM
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（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）
探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。
探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索五：A、B、C三点不在一条直线上时，△ACM和△BCN分别变为正方形ACME和正方形BCNF，其它条件不变，AN=BM成立吗？
这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。
浅谈初中数学习题拓展变式练习：（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BD⊥AC于D 求证：BD=PE+PF
浅谈初中数学习题拓展变式

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变式1：△ABC 浅谈初中数学习题拓展变式变为等边三角形
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浅谈初中数学习题拓展变式变式2：P在△ABC内 变式3：P在△ABC外
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（2）轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。


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变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）
方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；
方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；
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变式2：已知: AB、AC表示两条交叉的小河, P点是河水化验室, 现想从P点出发, 先到AB河取点水样, 然后再到AC河取点水样, 最后回到P处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从P点笔直向A走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。”化验员小吴否定了小王的路线, 提出了自己的想法, 请同学们想一想, 小吴走怎样的路线？
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浅谈初中数学习题拓展变式 浅谈初中数学习题拓展变式 浅谈初中数学习题拓展变式变式3：
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浅谈初中数学习题拓展变式变式4：如图,在定直线XY外有一点P,试于XY上求两点A、B,使PA+PB为最短,而AB等于定长a.
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变式5：如图，在河的两侧有A、B两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使A村到B村的路程最短，问桥应修在何处？(河宽为定长为m)
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解:(1)过B作BC⊥a,且使BC = m;
(2)连接AC交b于P;
(3)过点P作PQ⊥a,垂足为点Q,那么PQ就是桥的位置.


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（3）如图，公路MN和PQ在P点处交汇，且∠QPN=30°点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说明理由，若影响，求出影响时间。（拖拉机的速度是12米/秒）
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变式1：如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方300千米处，以10 浅谈初中数学习题拓展变式千米/时的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域。
（1）问A城是否受到台风影响？为什么？
（2）若A城受到台风影响，那么A城受到台风影响的时间多长？

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变式2：据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由。（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力有几级？
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在数学教学中,让学生学会一题多解,有利于启迪思维,开阔视野,全方位思考问题、分析问题;有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧.而采用一题多变的形式,可以训练学生积极思维,触类旁通,提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性.两者都有利于学生提高解决综合问题的能力
四、多题一法，培养学生思维的深刻性
初中数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。
例如：（1）一个多边形除一个内角外，其余所有内角和等于2200°，则这个多边形的边数为_____。
（2）一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___。
以上两题表面上看不同，实际是同一道题，应注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免“只见树木不见森林”的现象。
练习： （1）如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.
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(1)请在左图中分别画出长度为 浅谈初中数学习题拓展变式、2 浅谈初中数学习题拓展变式、3 浅谈初中数学习题拓展变式的线段.
(2)已知△ABC的三边长分别为AB= 浅谈初中数学习题拓展变式cm、BC=2 浅谈初中数学习题拓展变式 cm、AC=3 浅谈初中数学习题拓展变式 cm,求△ABC的面积.(可以利用右图,也可以用其它方法)
变式：比较大小： 浅谈初中数学习题拓展变式与 浅谈初中数学习题拓展变式+ 浅谈初中数学习题拓展变式+ 浅谈初中数学习题拓展变式
（2）勾股定理：
1、如图①，一架梯子长2.5米,顶端A靠在墙AC上,梯子下端B与墙角C相距1.5米.
(1) 这架梯子的顶端距地面多高?
(2)如果这架梯子滑动后停留在DE位置(如图②所示),测得BD长为0.5米,这时梯子顶端下落多少米?

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图① 图②
变式：梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D，那么BD（ ）
A、等于1米；B、大于1米；C、小于1米；D、以上结果都不对。
注：把问句略做一下变化，就综合了二次根式的比较大小的知识点。
2、小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm
的木箱中，他能放进去吗？答：_______________（填“能”、或“不能”）
3、有一个长、宽各2米，高3米且封闭的长方形纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ）米。
A、3；B、4；C、5；D、6。
变式1：一个圆柱的高为36，底面圆的半径为5，一只蚂蚁从上底面的点A处爬到与点A相对应的下底面点B处的最端路程是多少？Π值取3。
变式2：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________.
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变式3：如图，沿OA将圆锥侧面剪开，展开成平面图形是扇形OAB.
(1) 扇形的弧AB的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系？点A和点B在圆锥的侧面上是怎样的位置关系？
(2) 若角∠AOB=90°,则圆锥底面圆半径r与扇形OAB的半径R之间有怎样的关系？
(3) 若点A在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位，则点A运动的最短路程应该怎样设计？若 浅谈初中数学习题拓展变式,且∠AOB=90°,求点A运动的最短路程。

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此类题型以基本概念作为素材,除了考查学生对这一概念的认识以外,还要进一步考查学生能不能将题设的特定条件升华为普遍,一般的规律,并应用文字或数字关系式对这种规律予以完整明确地表达.其考查的知识范围虽然比较单一,但它却考查了学生多层次,全方位的思维能力，学生在考试中反映出来对这类全方位的思维能力相对薄弱。现就这类题型作一探讨,挖掘试题中丰富的内涵,达到事半功倍的效果。
五、设计猜想，培养思维的创造性
衡量学生思维水平的最终要素是思维的创造性，即善于探索、突破、创新，能够发现和解决自己或别人所未发现或未解决的问题，要培养这种可贵的品质，学生必须占有可供发现的有价值的材料，但教材在这方面往往存在着缺欠，因为在阐述数学原理和规律时，一般都把数学家们当初的真实发现过程给抽掉了，这就需要教师弥补这个不足。为此，我们可以利用研究对象的变式，设计出现隐藏着规律的材料，去引导学生发现。
例如：昨天在10中听张老师教学矩形的判定定理1和判定定理2一节，深有感触，现时很“流行”的做法是把性质定理和判定定理的互逆关系作为重点和切入点，往往都是先复习性质定理，然后考虑其逆定理，让学生猜想其正确性，从而归纳出判定定理。但张老师从另一个角度入手，先给出:
引例1：如图，在四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C = 90°
求证：四边形ABCD是矩形。
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引例2：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD
求证：平行四边形ABCD是矩形。
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猜想是一种创造性思维活动,它可导出新颖独特的思维成果,在已知领域中有所创新,在未知领域中有所发现或突破，通过猜想,培养思维的独创性，随着学生的年龄增长,他们的生理和心理素质在明显提高,知识面在迅速扩大,独立思考问题的能力相应地增强,这些都为教师培养学生思维的独创性提供了条件。通过让学生实际推证，从而得出结论，在总结归纳为判定定理，以这样的方式让学生经理了知识的发生发展过程。这种方法，是让学生对教师提供的材料，利用自己已有的知识去探索、猜想，从而有所发现。这是培养学生思维创造性的一种有效途径。
数学问题的探究往往是无穷尽的，让学生自己变题，能使学生既能高瞻远瞩，又能有效学习，做到触类旁通，举一反三，提高学习效率。
总之，学数学单靠搞题海战术，往往将学生压得透不过气来，有可能事倍功半，甚至劳而无获。而如果教师在在课前充分挖掘教材资源，多变题。在课堂中，利用变题引导学生去探索，甚至让学生自己变题，学生会非常乐意痴迷于他们的数学世界。这样不仅能巩固知识，挖掘不同知识点的联系，而且能开拓学生的思维和视野，有事半功倍的作用。
教学资源无处不在，无时不生，取之不尽，用之不竭。教师要不断地探索、实践、反思，巧思教学资源，妙用课堂资源，“材”源将滚滚而来。只有这样，我们的教学才能真正成为学生高层次思维发展的良好平台。

参考文献：
1. 谢全苗 ,刘淑珍《变式教学——研究性学习的一种模式》.中学数学教学参考. 2012年10期
2. 吴莉霞,刘斌《变式教学要把握三个“度”》 .数学通报. 2010年04期
3．罗腾根 《变式.数学课堂教学之法宝》.数学教学通讯.2011年12期
4. 孙海波 《利用课本习题资源,培养学生的探究能力》.中小学数学.2013年6期
5. 张彦春 《设计让学生思维递进的数学教学》.数学教学研究.2009年09期

On the junior high school mathematics exercises to expand the variable type
Lai Weihao
Author unit: Huidong Baihua middle school Address: White town of Huidong County, South Lane 20, spring three Postal code：516369
Abstract：Math class is not only to impart knowledge, but also attach importance to mathematical thinking ability training and the formation of personality. This requires students to actively participate in classroom teaching, from passive to active inquiry, really play the main role of the students, teachers in the classroom teaching content according to carefully design examples and some variant problem sets can play a multiplier effect. By using the variable type teaching can show the process of knowledge, promote the transfer of knowledge, and can improve the students' learning enthusiasm, cultivate the sense of participation, the inherent relation between the communication of knowledge, promote the formation of knowledge network, strengthen the theorem formula condition and scope of application, cultivation of rigorous thinking。
Keywords: A dos Many solutions to one question A changeful A method of multi item Design of conjecture



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