对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算之一

2017-12-12 17:21阅读：

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摘要：模拟古人通过原始天文观测和初等数学，计算地球、月球和太阳的大小和距离。
计算一：根据天圆地方的地平说，天高4607千米，地阔9213千米，太阳月亮直径42千米。
计算二：根据地圆说，较准确计算地球周长为40020千米。
计算三：根据地日月关系，确定地日月大小关系：太阳大于地球的一半，月球在地球的一半和1/4之间。
计算四：根据月食，计算月球直径和距离，误差较大。
计算五：根据推理修正算法，较准确计算月球直径和距离。
计算六：根据弦月时的日月夹角，计算太阳大小和距离。
计算七：根据地日月公式，重新计算太阳月球数据。
结论：根据计算，月亮大致为地球的1/4，太阳远大于地球，最终推导出日心说。
计算八：另一个算法，结合日食，得到地日月的尺寸公式，较准确计算太阳月亮大小和距离。

天地是怎么回事，这是人类身为智慧生物最本能的疑问之一。接下来的问题，天有多高，地有多大。宇宙的基本模样，是我们现代人的常识；天地有多大，试着算一算。
如果我们是古人，仅仅通过最原始的天文观测手段，以及最初等的数学知识，能否计算得到地球大小、月球和太阳的大小和距离呢。答案当然是可以，古希腊人2000多年前已经做到了。试着按自己的思路来一遍，顺便弄出个地日月尺寸公式。

(一) 计算天高地阔：天高4607千米，地阔9213千米，太阳月亮直径42千米

计算地球大小，前提当然要了解大地是球体这一基本概念。如果我们对宇宙的认识，还停留在天圆地方的层次，那么对宇宙的计算，就是计算天有多高、地有多阔。

对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

注：这个计算图严格按照太原洛阳两地的北极星和太阳的角度比例绘制。

1基本思路
天高地阔的计算思路，如上图所示。根据天圆地方的宇宙模型，大地是一个平面，日月星辰在同一个半球形的天穹之上，由此，在同一时间，地面上(南北方向)不同观测点，太阳和北极星在天上与地面的夹角不同。通过两个观测点太阳和北极星的视角，以及两地距离，即可计算得到天高地阔的结果。

2计算和结果
第一步，北极星的计算：太原洛阳两地相距667华里(333.5千米)，北极星与地面夹角太原为38°，洛阳为35°。通过简单三角运算可知，北极星距地面高2250千米，北极星在大地的投影距太原2880千米。
第二步，太阳的计算：春分正午太阳与地面夹角太原为52°，洛阳为55°，则春分正午太阳距地面高4113千米，太阳在大地的投影距洛阳2880千米(与前面计算的北极星投影与太原的距离相同)。
第三步，天圆地方的计算：由于日月星辰是在同一个半球形的天穹之上，由前两个计算的结果，通过三角运算可知，天高4607千米，地阔9213千米。
第四步，用后面说的古希腊人的方法，太阳月亮直径为天高的1/110，约42千米。

3说明
上述计算，以两个观测点对北极星和春分正午太阳的观测数据为例。实际上，以任何两个天体、相同时刻运行到正南或正北方向的观测角度，都可以进行这个计算。

4拓展
根据这个计算结果，最远只要跋涉不到一万里，就能走到天边。如果古人做过这个计算，一定会感觉有问题，也许会让他们对天圆地方的宇宙模型进行一些思考。不过没这么简单，关于观测精度以及带来的问题等，在后文讨论。

(二) 计算地球大小：地球周长40020千米，误差0.03%

掌握了地圆说的宇宙模型后，地球大小的计算，变得非常简单，甚至不需要三角函数，两地距离除以北极星角度差，就是地球周长。

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1计算思路
如上图所示，根据大地是球体的理论，日月星辰在遥远天际围绕地球旋转(相对而言)，通过地面上(南北方向)不同观测点的间距，以及北极星在天上与地面的不同夹角，可计算得到地球的大小。
简单几何计算可知，北极星与地平面的夹角等于观测地的纬度。通过后文讨论的日月距离的计算，古人可以得知地球大小远远小于与北极星的距离，所以北极星角度与北极星同地球的距离几近无关，至少远超出古人原始条件所能达到的测量精度。

2计算和结果
太原洛阳两地相距667华里，北极星夹角相差3°，因此地球周长为667华里的120倍(360°除以3°) ，为80040华里、40020千米。地球直径为12739千米，半径为6369千米。

3说明
相比这个北极星计算方法，古希腊人通过测量太阳在天上的角度计算地球周长，方法有异，基本思想相通。北极星方法有不限季节和时辰等好处，日晷方法测量太阳角度更容易精确。
再次强调球体地球计算的相对简单，仅仅一个乘法即得到地球周长，完全不需三角计算，极致优美。
40020千米的计算结果，与地球实际周长40008千米(子午线)相差很小。当然，这是凑出来的数字，本文中所有的所谓观测数据都是凑的。后文的后续计算，月球和太阳的大小、距离等，都基于地球大小的数值，为减小计算差异，不得不把数字凑得很准，不好意思。古人技术原始，对两观测地直线距离、太阳或北极星夹角等的测量，与实际数值的误差肯定很大，计算结果不可能这么准。

4拓展
天圆地方和球体地球两套计算的关键不同，在于不同的宇宙模型对天体角度差异的不同解释。天圆地方的计算，通过计算北极星和太阳的高度和距离，得到天高地阔数据；地球球体宇宙模型的计算中，北极星或太阳只是计算地球数据的客体，本身并不是计算对象。

(三) 分析地球、太阳、月球的大小和距离：太阳比月球远，比月球大，大小至少是地球的二分之一，月球大小在地球的1/4到1/2之间

具体计算月球和太阳的大小和距离之前，先分析地日月之间的大小关系，并为下一步的计算准备计算公式。

1基本思路
关于地日月的大小关系，大自然给了我们虽有些隐蔽、信息量其实非常丰富的提示。通过日食和月食这两个很特殊的天文现象，仅仅粗略的定性分析，我们即可得出地球、月球、太阳之间大致的尺寸关系。
第一，日食。太阳和月亮的视觉大小几乎一样，典型例子是日全食，因此它们的大小与同地球的距离成正比。同时，日食告诉我们太阳在月球的后面，比月亮远且比月亮大。
第二，月食。月食发生时，遮住月球光亮的那个阴影，即地球在月球轨道上的投影，大约是月球的三倍。这是地球在天地间仅有的靓影一现，唯一的量化信息，重要性经得住任何夸大。
1日月看上去一样大，2日食时太阳在月亮外面，3月食时地球阴影是月亮的3倍。综合分析这3个条件，经过简单几何运算，即可得到地日月大小的关系公式，并分析出日月尺寸的上下限。

2计算和结果
(1) 粗略分析：
如果太阳比地球小，则地球在月球轨道上的投影比地球大。月球大致是地球投影的1/3，则月球至少是地球的1/3。太阳比月球大，所以太阳至少是地球的1/3。
而月球的上限，不能大于地球，否则太阳就比地球大，地球阴影比地球小，月球是地球阴影1/3的现象就不能解释。

(2) 几何计算：分析太阳和地球的大小关系的三种情形。
情形一、太阳没有地球大：

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上图所示的大小关系，太阳和月亮都比地球小，是古人最容易接受的地日月系统。这种情形下，太阳最小不能小于地球的一半，月亮范围在地球的1/3到1/2。

情形二、太阳和地球一样大：

对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

如果太阳和地球大小差不多，则如上图所示，太阳和地球都是月亮的3倍大。
请注意这个太阳和地球同样大小的临界点，这时太阳与地球的距离，是月亮与地球距离的3倍。一旦过了这个临界点，如果地日距离大于地月距离的3倍，太阳就大于地球，宇宙的一切就是另一幅模样。

情形三、太阳比地球大：

对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

如果太阳大于地球，则月球小于地球的1/3，地月距离小于地日距离的1/3。反之亦然，地月距离相对地日距
离越小，太阳比地球越大。
后文说的古人通过上弦月时的地日月夹角，得到地日和地月距离的比例，这里提前议论一下。对古人来说，太阳比地球大虽然无法想象，但根据地球、太阳、月亮相互距离的数学关系，地日距离只要是地月距离的3倍以上，太阳就比地球大；而那个角度告诉我们，太阳的距离远得多，因而也比地球大得多；只要具备一定的初等数学和逻辑分析能力，这应是显而易见的结论。

综合以上，太阳大于地球的一半，月球是地球的1/4到1/2。太阳越大，月亮越小。

(3) 地日月尺寸公式
已知：太阳月亮看上去一样大，月食时地球阴影大致是月球的3倍。
由(太阳半径 – 地球半径)/(地球半径 – 3月球半径)= 地日距离 / 地月距离 = 太阳半径 / 月球半径(其中，3月球半径即地球阴影半径)，得：

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注：这是一个普遍公式，与太阳地球谁大谁小、谁绕谁旋转，都没有关系。
由太阳 > 月亮，得太阳 > 地球/2，地球/2 > 月亮 > 地球/4。

3问题和说明
上面的计算中，太阳月亮大小比等于地日地月距离比，没有考虑地球半径，相当于只计算早晨和晚上的情形。早午晚的太阳月亮看上去一样大，说明太阳月亮离地球的距离，相对地球半径相当大。
计算的另一个前提，假设地日轨道和月球轨道都是正圆，来自我们目测日月的大小和速度都很稳定。真实的天文数据，地日轨道和月球轨道，以及地球、太阳、月亮本身，都很接近正圆。
以上计算虽然推导不出太阳比地球大的结论，但大致分析的结果，相信已经足够惊骇古人：太阳至少有地球的一半大，直径大于6370千米，月亮最小是地球的1/4，直径在3180至6370千米之间。相应的，地日和地月距离最短为70万和35万千米，具体计算方法见后文。

4拓展
以上地日月尺寸公式，以前好像没有见过。自己读书太少，见过反而奇怪了。这个公式的地日月大小关系的结论，太阳大于地球一半，月球是一半到1/4，应该是很有说服力的。

(四) 计算月球大小和距离：直径4813千米，误差38.55%，距离地球529483千米，误差37.74%

月球大小和距离的计算，本是一件难以完成的任务，上天给了我们最大的恩赐：月食。亚里士多德通过月食时地球投影是圆的，定性证明大地是球体，我们当然可以再进一步，定量计算地球与月球的大小比例。只要认识到月食是地球投影造成的，剩下的事情就是简单测量和计算了。但由于通过月食测量是间接方法，具体的步骤及带来的问题，比前两个天圆地方和地球周长的计算要复杂一些。

1基本思路
月球大小的简单目测：比较月食时地球阴影弧度与月球大小的关系，可大致得知地球和月球的尺寸比例，根据地球数据计算月球大小。
月球大小的精确计算：古人没有照相机，目测弧度无法精确，自己想来更好的方法，测量月全食全程各个阶段的经历时间，对比地球阴影与月球的大小，可以比较精确地计算地球和月球的大小比例。
得到月球尺寸后，通过月球大小和距离的视觉比例关系，可计算得到月亮与地球的距离。

2计算和结果
简单目测方法一，通过对特定食相的观测，粗略估计月食时地球投影与月球大小的比例，大致为3:1，即月亮直径是地球的三分之一，4246千米。
这里卖个关子，地球明明是月亮的4倍，怎么会3:1，看错了吧。嘿嘿，我根本就没看月亮，3倍是算出来的，后面具体说。而这个非常粗略的3倍数字，前面讨论过，已经足以确定地日月尺寸的大致关系了。
简单目测方法二，如下图，对地月大小比例的计算，比方法一纯粹目测略微精确些：地球投影弧度的a段，长度约为月球半径b的1/5，根据三角函数计算，月球直径是地球直径的37.77%，约4900千米。

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精确计时方法：我们为古人设计一个完整的、理想的月全食。

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上图示意的月全食各阶段中，从1初亏到2食既，或从3生光到4复圆，是月球被地球阴影覆盖的过程；而从1初亏到3生光，或从2食既到4复圆，是月球经过整个地球投影的过程。测量计算这两个过程经历时间的比例，即可较精确地得到月球与地球投影的大小比例。
模拟观测数据为，从1初亏到2食既历时3680秒，从1初亏到3生光历时9740秒，月球直径是地球直径的37.79%，4813千米。

3地月距离的计算和结果
得到月球尺寸后计算地月距离，自己想的办法，测量每天早晨月亮浮出地平面经历时间，结合月球速度(29.53天绕地球28.53圈)，通过三角运算计算地月距离。
古希腊人的方法要简单、实用、可行地多，一个拇指遮住月球，确定月球大小和距离的视觉比例大致为110:1，即地月距离是月球直径的110倍，同时也确定了地日距离和太阳直径的比例。这个方法相当准确，同真实比例110.64的误差仅0.58%。用这个方法计算，地月距离为529483千米。
多说一句，自己的方法更适合精确测量和计算，比如下面要说的，从1初亏到2食既经历时间的计算(不是观测记录，而是计算)，以及后面确定太阳和月亮的视觉比等。但对古人来说，精确测量时间，实在不是件容易事，后面讨论。

4问题和说明
上述计算最主要的问题是，地球阴影大小不是地球，而且相差相当大。这个问题在下一节讨论。不过，这个误差比较大的方法，至少能得到相对模糊的定量结果；即使得不到地球与月球的真实比例，能得到地球投影的大小，已经走出了一大步。最重要的是，我们对月球尺寸有了基本的认识，大致与地球是同一个数量级。

问题二，这种“理想的”月全食，即月球轨道经过地球投影的圆心，发生概率应该是很低的，一般的月全食是下图表现的情形：

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这样的普通但“不理想”的月全食，不影响前述简单目测方法，但通过月全食各个阶段经历时间来计算月球与地球阴影的大小比例，应该不再可行。不同程度的月全食及月偏食，从1初亏到4复圆，各阶段经历时间的出入非常大，很难准确观测和计算。
解决这个问题，古人也许只能不断地观测记录，找到最理想的月全食数据作为计算依据。逻辑上，所谓的理想月食，相当于日全食，概率应该也差不多，并不是特别少。
看资料，古希腊人也是通过计量月全食各阶段时间来计算月球大小的，计算结果的较大误差，只因为倒霉没有逮到理想的月食。

第三个问题是地月距离、地日距离的不恒定，自己感觉，其最显著表现，是既有日全食，又有日环食。不过相对而言，地球围绕太阳轨道和月球围绕地球轨道，椭圆离心率都相当小(月球围绕地球旋转的近地点比远地点远11.73%)，我们观测太阳和月亮，一年之中并没有明显的大小差异。由此，通过月食地球阴影计算月球大小，误差是比较小的。

最后一个问题，通过观测月食计算月球大小和地月距离，最大难点应是月食现象的太过稀缺。但古人已经早早掌握月食日食的规律，古巴比伦人在2000多年前就总结出沙罗周期，每经过18年11天8小时，几乎肯定将重复之前发生过的日食或月食。虽然古人的数据不一定如此精确，这一点上，我们真的不用太为古人操心。
月食确实非常少，天地只给了我们这一种办法。

5月食经历时间的计算
这一部分是多说的，不影响月球计算的结果。
上述关于月食经历时间的模拟观测数据，从1初亏到2食既历时3680秒，完全可以不通过直接观测，而经过月亮和太阳的其他数据，间接计算得到。古人实际的观测度量，可以作为一个验算手段，最终证明关于日食和月食原理解释的正确。
以地球为参照系的地日月系统，太阳和月亮围绕地球旋转，太阳的旋转速度略微快于月亮，那么，日食的原理是太阳追上月亮时被月亮遮挡，月食的原理是太阳照在地球的投影追上月亮时遮挡了月亮。

对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

逻辑上，日食和月食的从1初亏到2食既，都是太阳(或太阳阴影)在月球轨道上追上月球，经历时间应当完全相同。距离=速度×时间，距离=月亮在天上的视角，可通过每天晚上月亮落山经历时间和月球速度得到；速度=太阳、月亮的速度差；已知距离和速度，时间即可计算。月落时间模拟为129秒，太阳1天绕地球1圈，月亮29.53天绕28.53圈。
“理想的”月全食不多，不易确定，3680秒这个数值可以通过日全食观测得到验证。然后翻回头，那些从1初亏到2食既经历3680秒左右的月食，才能确定为理想月食。

(五) 修正月球大小和距离：直径3493千米，误差0.55%，距离地球384279千米，误差-0.03%

上一节的计算结果，与实际数字的误差超过30%。凑出来的数字，都差这么多，计算思路存在的重大缺陷在于，地球在月球上(准确说应该是在月球轨道上)投影的大小，与地球本身的大小，并不是一回事。

0这不是巧合
拍脑袋想，按我们今天已经知道的常识，地日距离远大于地月距离(实际为490倍)，地球在月球轨道上的投影，相比地球本身，好像小不了多少。事实不是这样，因为太阳比地球大了太多(109倍)。简单比例关系计算可得知，地球投影直径比地球小3544千米，相对地球直径12742千米，比例相当大，完全不能忽略。

对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

这里有一个有趣的巧合，上面计算结果3544千米，很接近月球直径3474千米。这不是巧合，更准确地说，这是在地球上看月球和太阳几乎一样大的巧合的延续。简单几何计算可得知，当地日距离远大于地月距离，同时地月距离远大于地球半径时，地球投影比地球小接近一个月球。
另外，由前述地日月尺寸公式得：地球直径/月球直径 = 地球投影和月球的大小比例+1-地球直径/太阳直径。当太阳远大于地球，地球直径/太阳直径可忽略不计时(实际地球不到太阳的1%)，地球直径≈地球投影+月球直径，这是地球比月食阴影多一个月亮的数学证明。

1基本思路

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地球比地球在月球轨道上的投影大多少，这个本无聊的纯粹计算，结果却很有趣：多了一个月球。加上一个月球后，地球投影的大小，就是从1初亏到4复圆的月食全程。古人能否也受到这个巧合的启发，将地月比例进行相应的调整。

2计算和结果
修正后的计算：根据上一节的精确计时方法，地球投影和月球的大小比例为2.65，加上一个月球后，地球和月球的比例为3.65，得月球直径3493千米，地月距离384279千米。这两个计算结果与实际数值的误差为0.55%和-0.03%，数字凑得有点狠。

3问题和说明
这个月球大小修正算法的最大问题是，古人怎么会知道太阳比地球大。这个对今人先天正确的前提，和我们的直觉完全相反，对古人不可行。如果太阳比地球小，则地球在月球轨道上的投影比地球大，加一个月亮的修正算法即完成不成立。以日心说为依据，计算出日心说的结果，这个逻辑太不通了。
这里，古希腊人有一个非常重要的认识：太阳距离地球比月球远得相当多(下一节说，他们还得到了具体的比例值)。由前述的地日月大小关系，月球至少是地球1/4，加上日月距离和大小成正比，得到太阳比地球大的推论，好像挺自然。
而当古人估摸出地球在月球轨道的投影，竟然小于地球本身，人类历史上最伟大的文明飞跃，已经隐隐向他们召唤了。真实的历史是，早在公元前3世纪，古希腊天文学家即判断出太阳比地球大，进而提出历史上第一个日心说主张。

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