在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.
例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数．这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如
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，你能用已有的函数知识判断y=x与
![函数的概念及其表示]( "函数的概念及其表示")
是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念．
3.1.1 函数的概念
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我们先分析以下问题.
（1）某高速列车加速到300 kmh后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为
S=300t．
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．
思考
如果有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到300 kmh后，运行1 h就前进了300km．”你认为这个说法正确吗？
根据问题（1）的条件，我们不能判断列车以300 kmh运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．
下面我们用更精确的语言表示问题（1）中t与S的对应关系：
列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的对应关系是
S=300t．
其中，t的变化范围为数集A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤150}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
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（2）某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天300元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人的每周所得？一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？
显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是
w=300d．
其中，d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}，w的变化范围是数集B2={300,600,900,1200,1500,1800}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．
（3）图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．你能根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数（AQI）的值I吗？你认为这里的I是t的函数吗？
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图3.1-1
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从图3.1-1中的曲线可知，时间t（单位：h）的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}，AQI的值I都在数集B3={I|0<</span>I<150}中．对于数集A3中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数．
（4）国际上常用恩格尔系数r（r=![函数的概念及其表示]( "函数的概念及其表示")
）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
表1-1
你认为表1-1给出的恩格尔系数r与年份y的对应关系是函数吗？你会用怎样的语言来刻画这个对应关系？
这里，y的取值范围是数集A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B4={
归纳
上述实例（1）～实例（4）中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
上述实例的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，我们用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作
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y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
显然，值域是集合B的子集．在实例（1）与（2）中，值域就是B1和B2；在实例（3）中，值域是数集B3的真子集；在实例（4）中，值域C4={36.69, 36.81, 38.17, 35.69, 35.15, 33.53, 33.87, 29.89, 29.35, 28.57}，是数集B4={
例
试构建一个问题情境，使其中的变量之间的对应关系可以用解析式y=x(10－x)来描述．
解：把y=x(10－x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={y|y≤25}．对应关系f：R→B，使得R中的任意一个数x与B中的数x(10－x)相对应．
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}
长方形的边长之和为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10－x)．其中，x的取值范围是A={x|0＜x＜10}，y的取值范围是B={y|0＜y≤25}．对应关系f：A→B使长方形的边长x与它的面积x(10－x)相对应．
探究
构建其他问题情境，并用解析式y=x(10－x)描述其中的变量关系．
3.1.1 函数的概念
（1）某高速列车加速到300 kmh后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为
S=300t．
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．
思考
如果有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到300 kmh后，运行1 h就前进了300km．”你认为这个说法正确吗？
根据问题（1）的条件，我们不能判断列车以300 kmh运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．
下面我们用更精确的语言表示问题（1）中t与S的对应关系：
列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的对应关系是
S=300t．
其中，t的变化范围为数集A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤150}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是
w=300d．
其中，d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}，w的变化范围是数集B2={300,600,900,1200,1500,1800}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．
（3）图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．你能根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数（AQI）的值I吗？你认为这里的I是t的函数吗？
图3.1-1
（4）国际上常用恩格尔系数r（r=
表1-1
|
年份y |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
2011 |
2012 |
2013 |
2014 |
2015 |
|
恩格尔系数r(%) |
36.69 |
36.81 |
38.17 |
35.69 |
35.15 |
33.53 |
33.87 |
29.89 |
29.35 |
28.57 |
这里，y的取值范围是数集A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B4={
归纳
上述实例（1）～实例（4）中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
上述实例的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，我们用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
显然，值域是集合B的子集．在实例（1）与（2）中，值域就是B1和B2；在实例（3）中，值域是数集B3的真子集；在实例（4）中，值域C4={36.69, 36.81, 38.17, 35.69, 35.15, 33.53, 33.87, 29.89, 29.35, 28.57}，是数集B4={
例
试构建一个问题情境，使其中的变量之间的对应关系可以用解析式y=x(10－x)来描述．
解：把y=x(10－x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={y|y≤25}．对应关系f：R→B，使得R中的任意一个数x与B中的数x(10－x)相对应．
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}
长方形的边长之和为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10－x)．其中，x的取值范围是A={x|0＜x＜10}，y的取值范围是B={y|0＜y≤25}．对应关系f：A→B使长方形的边长x与它的面积x(10－x)相对应．
探究
构建其他问题情境，并用解析式y=x(10－x)描述其中的变量关系．