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物理世界（二十九）

2017-10-05 05:21阅读：

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物理世界（二十九）
刘文旺
牛顿后力学的发展
十七世纪到十八世纪，力学的很多概念还不是很清晰。例如，人们在不同的意义下使用“力”的概念。这种概念上的模糊引发了旷日持久的，笛卡尔学派和莱布尼兹学派之间关于“运动的力”的争议。
笛卡尔学派从运动量守恒的基本概念出发，认为应该把物体的质量和运动的速度的乘积来解释“力”或物体运动的量的亮度。这实际上是后来物体运动的动量；而莱布尼兹学派则认为，动力不能用物体的质量和运动的速度的乘积来解释。应该用物体的质量和运动的速度的平方乘积来解释。
这两种思想的争论，持续了半个世纪，不少物理学家卷了进来。1743年，法国理学家达兰贝尔在他的《动力学论》的序言中，指出了两种亮度的等效性。他认为“运动物体的力”只能用物体克服障碍物的能力来体现。在达到平衡的情况下，动量可用来作为“运动物体的力”的量度。而在障碍物是运动的物体逐渐减速直到停止下来时，活力可作为“运动物体的力”的量度。
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伯努利
其实，这里的解释也是不成立地位。体现了那个时期，人们对物理学概念的模糊认识。
从现在的观点看，笛卡尔学派的观点，类似于牛顿第二定律。而莱布尼兹学派的观点，则是站在功能的观点看问题。两者是不同的。
在这一时期，由于不同的物理学家的努力，建立了三大守恒原理。
1、质心运动守恒定律
笛卡尔首
先提出了运动量守恒定律的基本思想，惠更斯的认识是本质的他认识到了动量的矢量性。因此，他准确地表述了碰撞过程中系统的动量守恒性。并且，借此指出系统共同质心的运动速度为常数的观点。
2、动量矩守恒定律
开普勒第二定律，实际上就是动量矩守恒定律。牛顿在其《自然哲学的数学原理》中，把它推广到有心力运动的一切场合。他指出，一个质点在指向一个固定点的外力的作用下，其矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
后来，1745年伯努利和欧勒以不同方式表达了：系统动量矩随时间的变化率，等于所受力的力矩之和。
3、活力守恒定律
伽利略、惠更斯已经指出，在自由落体运动、斜面上的运动、钟摆的运动等过程中，下落物体的运动速度至于确定的高度有关。惠更斯在完全弹性碰撞的研究中，得到了各物体的mv2之和保持不变的结论；莱布尼兹则引入了“活力”的概念来描述这一过程——“活力守恒”。并且发现了力和力作用的距离的乘积与其所言的活力的变化成正比。这就是最初形式的功能原理思想的体现。后来，科里奥利力用现在的动能公式mv2/2来代替mv2，莱布尼兹的思想才得以准确的描述。
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拉普拉斯
十八世纪中叶以来，力学和数学家们致力于寻找比牛顿理论更具有普适性的原理。他们从虚功原理、最小作用原理发展为数学上的变分方法。借助于引入广义坐标和代数方法，逐渐形成了一套独特的分析问题的方法。
1715年，伯努利首先提出了虚速度的概念，伯努利的学生、瑞士数学家欧勒在其《流体运动理论》中，建立了欧勒方程：
物理世界（二十九） 物理世界（二十九）+ 物理世界（二十九）
=0
（欧勒方程）
法国数学家、天文学家和力学家拉普拉斯建立了势函数满足的拉普拉斯方程。
1813年，法国数学家泊松给出了更一般的形式：
▼2 物理世界（二十九）
=-4πρ
（泊松方程）
物理世界（二十九）
泊松
1834年到1835年英国的哈密顿完成哈密顿原理的建立。
分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。
哈密顿原理
哈密顿原理（应该就是上文的汉密尔顿原理）是分析力学中的一条公理，无法再用更基本的理论推导出，其正确性只能由其解决的问题来证明。
下面介绍完整有势系的哈密顿原理。首先定义拉格朗日函数L：
https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=68/sign=8a0ccbc3eb24b899da3c7a306f068e5d/4a36acaf2edda3ccdeed59e303e93901203f92ec.jpg
再定义一个泛函，称为作用量S：
https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=83/sign=59cf8d71b0b7d0a27fc9099ec9efdaa3/4610b912c8fcc3ce370628f09045d688d53f202b.jpg
在完整有势系中，物体真实的运动一定会使作用量S取极值
https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=47/sign=f7dce45ec9ef7609380b98982fddd652/d53f8794a4c27d1e2933db0719d5ad6edcc438d8.jpg
分析力学以广义坐标为描述质点系的变量，以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》为这门学科奠定了基础。 1834年和1843年W.R.哈密顿建立了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。1894年H.R.赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。
在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程——薛定谔方程等。

到1788年，拉格朗日出版的《分析力学》。这是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。

分析力学是理论力学的一个分支，它通过用广义坐标为描述质点系的变数，运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。分析力学是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系是牛顿理论的自然延伸，因此，分析力学的基本原理同牛顿运动三定律之间可以互相推出。
http://p4.so.qhimgs1.com/bdr/_240_/t01744e59b75fb98e7a.jpg
牛顿
分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。
太阳系可看作自由质点系，星体间的相互作用是万有引力，研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学，同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。
不同的系统所遵循的运动微分方程并不相同；研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，便于方程的求解。
1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。
从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。
20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
分析力学研究的主要内容是：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的 拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究 相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。
分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。
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爱因斯坦
爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。
从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。
20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。
不同的系统所遵循的运动微分方程不同；研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。
从十八世纪开始，在力学发展史上又出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即分析力学。这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。为了避免未知理想约束力的出现，分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程－拉格朗日第一类方程。
分析力学的另一种方法是从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达，克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。上述工作均由拉格朗日于1788年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。1834年哈密顿将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。 对于一个动力学系统，尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与矢量动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。正是由于这个原因，在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越，而被搁置一边。
随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。故解决动力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。可以这样说如今在解决复杂动力学问题成功的计算机辅助分析软件中，均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。
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拉格朗日
分析力学又分为拉格朗日力学或哈密顿力学。前者以拉格朗日量刻划力学系统，运动方程称为拉格朗日方程，后者以哈密顿量刻划力学系统，运动方程为哈密顿正则方程。
分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。又如太阳系可看作自由质点系，星体间的相互作用是万有引力，研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学，同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。
（未完待续）

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