《直线的倾斜角和斜率》教学设计
2018-04-26 22:02阅读：
《直线的倾斜角和斜率》教学设计
一、教材分析
《直线的倾斜角和斜率》是北师大版数学必修2第二章第一节的内容是高中解析几何内容的开始.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，本节内容分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是研究直线方程及其位置关系等思维的起点.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、 学情分析
由于学生初中只学习了简单的三角知识，因此学生对直线的倾斜角和斜率关系的学习，在理解接受上还有一定的难度，对直线斜率的认识希望学生能从多角度、多层次去理解它，随着学习的深入，学生对这一问题的理解会更全面，也就是说，对直线斜率的认识不是一次完成的，关于用倾斜角的正切值表示斜率，重点研究倾斜角为锐角的情况，倾斜角为钝角的情况只做简单的解释。
三、 数学思想和教学方法
利用直角坐标系系统的描述不同倾斜角的定义和直线的斜率，体现了分类讨论的思想；斜
率的定义是学生体会几何问题代数化的实例，引导学生逐步掌握用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，体会数形结合的思想方法。
教学中借助实物模型和利用图片说明斜率的变化规律，采用合作——讨论式，直观教学法，配合多媒体投影等辅助教学.
四、教学目标
知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；
（2）会求过两点的直线的斜率；
过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟解析几何思想；
（2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类
讨论思想；
情感态度价值观：
（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求实的数学精神．
五、教学重点和难点
重点: 直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率计算公式
难点:
斜率概念的学习，过两点的直线斜率公式的推导过程
六、教学方法
本节课主要是教给学生“动手计算、仔细观察、思考交流”的研究式学习方法，这样就会增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生学有所思，思有所得，练有所获，让学生产生一种成就感，激发学生的学习兴趣.
三、教具：多媒体、直尺.
八、教学过程
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教学过程
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教师
活动
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学生
活动
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设计
意图
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创设情境
︵约3分钟︶
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1、观察图中长江大桥的斜拉索所在直线，分为几种趋势.
2、经过两点有且只有（确定）一条直线；那么经过一点P的直线l的位置能确定吗？
href='http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=&in=13064&cl=2&lm=-1&pn=412&rn=1&di=46145285655&ln=2000&fr=ala0&fmq=&ic=0&s=0&se=1&sme=0&tab=&width=&height=&face=0&is=&istype=2'
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
请各同学在活动纸上作出相应的在直线.
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教师巡视指导学生作图.播放PPT动画，
提醒学生注意观察长江大桥的斜拉线.
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学生审题，规范作图.注意观察，讨论交换意见
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活跃课堂氛围，也为新知的导出埋下伏笔，让学生在愉悦的环境中获取新知.
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合作探究
︵约25分钟︶
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探究一：直线倾斜角的定义
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
展示长江大桥图片及部分的斜拉索所在直线.
问题1：由图片数据，你能获得哪些信息？
展示：
（1）直线倾斜角的定义：当直线 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 与x轴相交，取x轴作为基准，直线
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 向上方向与x轴正向之间所成的最小正角α叫做直线
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 的倾斜角.
（2）注意点： 直线向上方向；
x轴正半轴；
最小正角；
（3） 规定：与x轴平行或重合时的直线倾斜角为零；
2.媒体分析
播放几何画板，演示直线绕点P的旋转过程.
展示：
（1）根据直线分类所得倾斜角的四种情形：
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") （2）直线倾斜角的范围：
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
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教师借助媒体展示图片节斜拉索所在直线.
教师引导学生探索直线之间的区别，从而引出直线倾斜角的概念.
教师强调直线倾斜角定义中的注意点及规定.
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学生观察图像.
学生思考、踊跃作答.
学生思考、作图，并回答直线之间的区别.
学生领悟要点.
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导入长江大桥这一生活材料，让学生体会生活问题数学化，营造良好的教学氛围.
开放式的问题更能点燃学生创新思维的火花.
通过观察分析图，培养学生的识图、作图能力.
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合作探究︵约25分钟︶
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3.练习巩固
练习1：按要求作图：
过点P作一条倾斜角为 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 的直线.
探究二：直线斜率的定义及直线倾斜角与斜率之间的关系
问题2：在日常生活中我们经常会遇到上坡下坡问题，那么对于斜坡的倾斜程度可以用什么量来反映？
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 展示：
（1）坡比公式：
；
（2）直线斜率的概念：倾斜角α的正切值叫做直线
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 的斜率.即 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
（3） 注意点：直线倾斜角为 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 时，直线斜率 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 不存在.
练习 （1） 完成下表：
（2）观察表中数据，阐述直线倾斜角与直线斜率之间的变化关系.
展示：(1)直线倾斜角与斜率之间的关系 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
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教师引导学生观察直线倾斜角大小与直线陡缓程度的关系，并结合倾斜角的定义探索直线倾斜角的范围.
师问：根据直线的分类，可以将直线倾斜角分成几种情形？
教师巡视指导学生规范作图.
教师引导学生类比坡比概念结合正切函数引出直线斜率的概念.
教师强调直线斜率的定义及注意点.
教师引导复习特殊角的正切函数值.
寻找直线倾斜角与斜率之间的关系.
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学生观察几何画板的演示.
将形成的直线分类型画在练习本上
学生测量直线倾斜角并作图.
学生领悟.
学生完成表格.
学生观察数据，积极思考，分享成果.
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几何画板的动态演示让学生直观感受倾斜这一几何量的形成过程，体悟知识的形成过程.
通过“找—量—画”三个环节，正逆运用新知，有效检测学生的新知落实情况,也为探究二的学习埋下伏笔.
通过问题驱动,让学生观察、类比得出斜率的概念，培养学生的知识迁移能力；并体验从直观到抽象的过程.
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合作探究︵约25分钟︶
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(2) 当 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ，倾斜角越大，斜率越大；
当 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ，斜率不存在；
当 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ，倾斜角越大，斜率越大.
3.练习巩固
小试牛刀
是否每条直线都有斜率？
是否每条直线都有倾斜角？
直线倾斜角越大，直线斜率是否越大？
探究三：过两点的直线斜率公式
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
问题3：在没有量角器的情况下，已知直线两点坐标，如何求直线PQ的斜率？
设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，推导当倾斜角为锐角时过两点的直线斜率公式.
问题4：若直线倾斜角为钝角，公式成立吗？
若改变P、Q两点的顺序，公式成立吗？
当直线平行 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 轴，公式还适用吗？
当直线平行 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 轴，公式还适用吗？
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教师引导学生运用分类讨论思想来探索直线倾斜角与斜率之间的关系.
教师纠正学生易混淆的概念.
教师巡视指导学生计算直线的斜率.
教师提示学生转化到直角三角形中求解
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学生领悟直线倾斜角与斜率之间的关系.
学生思辨并作答，领悟知识要点.
学生观察图像.
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填表有效检测学生对特殊角正切函数值的落实情况.
利用几何画板动态直观展示直线倾斜角与斜率之间的关系，有助于学生加深对理解.
通过三个易混淆的概念判断，有利于进一步强化概念；练习2的设计，落实知识重点，也为探究三知识的验证埋下伏笔.
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合作探究︵约25分钟︶
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展示：（1）过两点的直线斜率公式:
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") （ ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ≠
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ）（2）过两点直线斜率公式的注意点：
当 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 时，斜率不存在；
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 当
时，斜率为零；
斜率与两点坐标顺序无关.
3.练习——答疑
练习：1.在统计图中，直线PQ的斜率为多少？
2：判断经过以下两点的直线的斜率是否存在．若存在，求出它的值，并画图。
（1）
Q(3，2)，P1(-1，-3)
（2）
Q(3，2)，P2(5，-2)
（3）
Q(3，2)，P1(-3，2)
（4）
Q(3，2)，P1(3，-2)
总结:求直线斜率的方法.
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教师板演当倾斜角为锐角时过两点的斜率公式：
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计")
教师引导学生猜想结果.
从代数的角度分析两点顺序不影响直线斜率的公式.
教师分析公式，强调两个注意点.
教师引导学生总结计算直线斜率的方法.
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学生思考、计算、作答.
学生讨论并交流猜想结果.
学生思考、讨论并作答，领悟过两点直线斜率公式的要点.
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通过连续追问，借助媒体直观展示，有利于过两点斜率公式这一知识点的完善，增强学生思维的严密性.
通过方法总结，形成完备的知识体系.
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课堂练习︵约5分钟︶
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1、若直线 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 的斜率为
,倾斜角为
2、已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ，则x=
.
3、已知直线的斜率的绝对值为
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ，则直线的倾斜为
.
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提醒学生分析题意，结合过两点的直线斜率公式解决问题。
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学生积极思考并解答.
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本着“以学生为主体，以教师为主导”的教学理念，注重数学知识与能力的学习发展并重.
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自主小结︵约 4分钟︶
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这节课学到了什么？
展现：
1. 直线的倾斜角定义:
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（１）特别地,当直线l与x轴平行或重合时,
规定倾斜角 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ＝
；
（２）倾斜角的取值范围________
.
2.直线的斜率的定义：
（垂直于x轴的直线斜率
）
3、已知A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），则AB的斜率为
．
4、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解
K=0时，倾斜角
；
k>0时，倾斜角
；
k<0时，倾斜角
．
垂直于x轴的直线的倾斜角为
.
.
思想方法：
数形结合、化归、分类讨论.
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教师屏显本节课的知识结构及思想方法.
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学生自主梳理知识.
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启发式课堂小结，学生自主归纳新知，培养学生的概括能力以及语言表达能力.
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课后作业
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必做题：
1.
完成课本P71的练习1、2、3；
2. （1）如图，直线的倾斜角为 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ，
直线 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ，求
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 的斜率；
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") （2）直线过点 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") 与 ![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") ,斜率为1，求
![《直线的倾斜角和斜率》教学设计]( "《直线的倾斜角和斜率》教学设计") .
选做题：
3.探究：（1）推导当直线倾斜角为钝角时，过两点的直线斜率公式.
（2）已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.(
k≤－1或k≥3)
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练习1，较为简单，增强学生的学习信心；练习2，拓宽学有余力学生的知识面；练习3，培养学生的自主探究能力，体现分层教学思想.让每一位学生都有提升.
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九、 教学反思
本节课以教材为出发点，立足于学生实际，着力挖掘学生的潜能，设计合理，层次分明，以三个知识点的探究为主线、以问题为导向、以学生为中心，重点得以突出，难点得以突破，借助现代教育技术多媒体辅助教学，创设了师生，生生之间心灵沟通与交流的空间及愉快学习的氛围，增强了学生的学习兴趣，教学效果良好，学生在合作探究，讨论环节气氛热烈，但有个别同学不够认真，以后课堂要多关注这部分同学.
