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【原创】奥数解析（三十一）长方体和正方体（下）

2017-10-30 10:51阅读：

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五年级奥数解析（三十一）长方体和正方体（下） 《奥赛天天练》第31讲，模仿训练，练习1
【题目】：
如图是一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀。问：（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）两个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）都没有红色的有几个？
【原创】奥数解析（三十一）长方体和正方体（下）
【解析】：
观察上图，原正方体被切成了27个小正方体，每层9个，共3层，每个小正方体朝外的面都是红色的，切面不是红色。
位于原正方体8个顶点角上的小正方体切下后，有3个面朝外涂有红色，所以：三个面涂有红色的小正方体有8个；
位于原正方体每条棱正中的小正方体，有2个面朝外涂有红色，正方体有12条棱，所以：两个面涂有红色的小正方体有12个；
位于原正方体每个面正中的小正方体，只有一个面朝外涂有红色，正方体有6个面，所以；一个面涂有红色的正方体有6个；
27－8－12－6﹦1（个）
位于原正方体正中心的位置，还有1个小正方体，6个面都不朝外，都没有红色。
《奥赛天天练》第31讲，模仿训练，练习2
【题目】：
一块正方体木块，棱长为10厘米，第一次在上面挖去一个棱长为1厘米的小洞，第二次再在第一个小洞的底部中心挖去一个棱长0.5厘米的小洞，第三次再在第二个小洞的中心挖去一个棱长0.25厘米的小洞，此时所得的几何体的表面积是多少？
【解析】：
如下图：
【原创】奥数解析（三十一）长方体和正方体（下）
在正方体上面挖去一个棱长1厘米的小洞，表面减少部分面积等于挖去的小正方体的上面面积，增加部分面积等于挖去的小正方体4个侧面和1个底面的面积和，减少部分面积和底面面积相等抵消，所得几何体表面积比原正方体表面积增加了一个挖去的棱长1厘米的小正方体的侧面积。
同理，第二次挖洞，几何体的表面积增加了一个棱长0.5厘米的小正方体的侧面积；第三次挖洞，几何体的表面积增加了一个棱长0.25厘米的小正方体的侧面积。
第三次挖洞后，此时所得几何体的表面积为：
10×10×6＋1×1×4＋0.5×0.5×4＋0.25×0.25×4﹦605.25（平方厘米）
《奥赛天天练》第31讲，巩固训练，习题1
【题目】：
如图所示是4个正方体粘合而成的模型，它们的棱长分别是2米、3米、4米、5米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体下面不涂，则涂油漆的面积是多少？
【原创】奥数解析（三十一）长方体和正方体（下）
【解析】：
一个大正方体（棱长5米）下面不涂，涂漆面积为大正方体的5个面的面积和；每往上粘合一个小一些的正方体，涂漆面积减少一个小正方体的粘合面，增加小正方体的另外5个面，纯增加涂漆面积就是粘合小正方体的4个侧面。
所以4个正方体粘合而成的模型的涂漆面积为：
5×5×5＋4×4×4＋3×3×4＋2×2×4﹦241（平方米）。
《奥赛天天练》第31讲，巩固训练，习题2
【题目】：
一个长方体，如果长增加5厘米，则体积增加150立方厘米；如果宽增加4厘米，则体积增加160立方厘米；如果高增加3厘米，则体积增加144立方厘米。问原长方体的表面积是多少平方厘米？
【解析】：
长方体的长增加5厘米，体积增加150立方厘米，增加部分体积，就是一个以原长方体宽高面为底面、以5厘米为高的长方体，可以求出原长方体宽高面面积为：150÷5﹦30（平方厘米）。
同理可以求出原长方体长高面面积为：160÷4﹦40（平方厘米）；
原长方体长宽面面积为：144÷3﹦46（平方厘米）。
所以原长方体的表面积为：
（30＋40＋46）×2﹦232（平方厘米）。
《奥赛天天练》第31讲，拓展提高，习题1
【题目】：
如图所示是一堆黄土，图中A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是4米。现在要把A处的土推向B处，使A，B两处同样高，A处下降了几米？
【原创】奥数解析（三十一）长方体和正方体（下）
【解析】：
先求出A处高出B处那部分黄土的体积：
25×4﹦100（立方米）。
把A处的土推向B处，使A，B两处同样高，即把这100立方米土平铺到A，B两处，这时比平铺前高度增加：
100÷（25＋15）﹦2.5（米）。
所以，平铺后A处比原来下降了：
4－2.5﹦1.5（米）。
《奥赛天天练》第31讲，拓展提高，习题2
【题目】：
一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米。现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？
【解析】：
解法一：总算总除。
0.5米﹦50厘米
由题中条件可知，长方体铁块开始被浸湿部分总长为50厘米，容器中水的体积为：60×60×50－15×15×50﹦168750（立方厘米）。
铁块提起24厘米之后，铁块底面以下部分水的体积为：
60×60×24﹦86400（立方厘米）。
则铁块提前24厘米后，铁块被浸没部分长度为：
（168750－86400）÷（60×60－15×15）﹦24.4（厘米）。
所以铁块提前24厘米后，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长为：
50－24.4﹦25.6（厘米）。
解法二：分别计算。
假设容器中的水不流动，长方体铁块提起24厘米，则铁块露出水面的部分浸湿24厘米，铁块下方有一块底面边长15厘米、高24厘米的空隙。
要填满铁块下方的空隙，容器里的水位还会下落：
15×15×24÷（60×60－15×15）﹦1.6（厘米）。
所以所以铁块提前24厘米后，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长为：
24＋1.6﹦25.6（厘米）。

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