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列举的顺序，要做到既不重复又不遗漏。
《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习1
【题目】：
分母是221的真分数有多少个？最简真分数有多少个？
【解析】：
一、分母是221的真分数，分子是小于221的自然数：1～220，满足条件的分数有220个；
二、在分母是221的所有220个真分数中，分子如果是分母221的约数或包含221的约数，即与221不互质，这样的分数就不是最简分数。
221=13×17
则1～220中，13的倍数有（17-1=）16个，17的倍数有（13-1=）12个。
所以符合条件的最简真分数有：
220-16-12=192（个）。
《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习2
【题目】：
分母不大于50，分子不大于5的最简真分数有多少个？
【解析】：
分子不大于5，只能是：1、2、3、4、5；
分母不大于50，且是真分数，分母只能是2～50的数。
根据分子的情况，分类列举如下：
①分子是1，分母在2～50中的真分数都是最简真分数，有：
50-1=49（个）；
②分子是2，分母只能为3～50中的奇数，这样的最简真分数有：
50÷2-1=24（个）；
③分子是3，分母为4～50，这样的最简真分数可以求出：
4～50中，3的倍数有15个，50-3-15=32（个）；
④分子是4，分母只能为5～50中的奇数，这样的最简真分数有：
50÷2-2=23（个）；
⑤分子是5，分母为6～50，这样的最简真分数有：
6～50中，5的倍数有9个，50-5-9=36（个）。
所以符合条件的最简真分数共有：
49+24+32+23+36=164（个）。
《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题1
【题目】：
比分数1/4大，比7/10小，分母是40的最简分数有多少个？
【解析】：
先把分数1/4和7/10都化为分母为40的分数：
1/4＝10/40；
10到28之间的数比较少，可以直接列举出在10到28之间与40互质的数（不含有质因数2和5的数），有7个：11、13、、17、19、21、23、27。
所以，符合题目条件的最简分数有7个。
《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题2
【题目】：
求所有分母是85的最简真分数的和。
【解析】：
分母为85的真分数，分子为：1～84。
85＝5×17，所求最简真分数的和，就是分母为85，分子既不是5的倍数又不是17的倍数的所有真分数的和。又因为：
①1～84中，5的倍数有（17-1=）16个，等差数列排列，总和为：
5+10+15+…+80＝（5+80）×16÷2＝85×8，
分母为85，分子是5的倍数的真分数之和为：85×8÷85＝8；
②1～84中，17的倍数有（5-1=）4个，等差数列排列，总和为：
17+34+51+68＝85×2。
分母为85，分子是17的倍数的真分数之和为：85×2÷85＝2；
③分母是85的所有真分数的分子之和为：
1+2+3+…+83+84＝（1+84）×84÷2＝85×42，
分母为85的所有真分数之和为：85×42÷85＝42。
所以，符合条件的最简真分数的和为：42－8－2＝32。
《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题1
【题目】：
分子、分母的乘积是420的最简真分数共有多少个？
【解析】：
解法一：先按顺序对420成对分解因数。
420＝1×420＝2×210＝3×140＝4×105＝5×84＝6×70＝7×60
＝10×42＝12×35＝15×28＝20×21
找出每组互质的因数，可得符合条件的最简真分数共有8个：
1/420，3/140，4/105，5/84，7/60，12/35，15/28，20/21。
解法二：先对420分解质因数。
420＝2×2×3×5×7
根据分解情况，找出每组积为420且互质的两个因数，可得符合条件的最简真分数共有8个：
1/420，3/140，4/105，5/84，7/60，12/35，15/28，20/21。
《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题2
【题目】：
一个最简真分数的分子、分母是两个连续自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是2/3，原来这个分数是多少？
【解析】：
假设分数分子为2x，则新分数分母为3x，由题意可得：
3x＝2x＋1＋4
解得：x＝5
2x＝2×5＝10； 2x＋1＝10＋1＝11
所以，原来这个分数是10/11。
《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习1
【题目】：
分母是221的真分数有多少个？最简真分数有多少个？
【解析】：
一、分母是221的真分数，分子是小于221的自然数：1～220，满足条件的分数有220个；
二、在分母是221的所有220个真分数中，分子如果是分母221的约数或包含221的约数，即与221不互质，这样的分数就不是最简分数。
221=13×17
则1～220中，13的倍数有（17-1=）16个，17的倍数有（13-1=）12个。
所以符合条件的最简真分数有：
220-16-12=192（个）。
《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习2
【题目】：
分母不大于50，分子不大于5的最简真分数有多少个？
【解析】：
分子不大于5，只能是：1、2、3、4、5；
分母不大于50，且是真分数，分母只能是2～50的数。
根据分子的情况，分类列举如下：
①分子是1，分母在2～50中的真分数都是最简真分数，有：
50-1=49（个）；
②分子是2，分母只能为3～50中的奇数，这样的最简真分数有：
50÷2-1=24（个）；
③分子是3，分母为4～50，这样的最简真分数可以求出：
4～50中，3的倍数有15个，50-3-15=32（个）；
④分子是4，分母只能为5～50中的奇数，这样的最简真分数有：
50÷2-2=23（个）；
⑤分子是5，分母为6～50，这样的最简真分数有：
6～50中，5的倍数有9个，50-5-9=36（个）。
所以符合条件的最简真分数共有：
49+24+32+23+36=164（个）。
《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题1
【题目】：
比分数1/4大，比7/10小，分母是40的最简分数有多少个？
【解析】：
先把分数1/4和7/10都化为分母为40的分数：
1/4＝10/40；
10到28之间的数比较少，可以直接列举出在10到28之间与40互质的数（不含有质因数2和5的数），有7个：11、13、、17、19、21、23、27。
所以，符合题目条件的最简分数有7个。
《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题2
【题目】：
求所有分母是85的最简真分数的和。
【解析】：
分母为85的真分数，分子为：1～84。
85＝5×17，所求最简真分数的和，就是分母为85，分子既不是5的倍数又不是17的倍数的所有真分数的和。又因为：
①1～84中，5的倍数有（17-1=）16个，等差数列排列，总和为：
5+10+15+…+80＝（5+80）×16÷2＝85×8，
分母为85，分子是5的倍数的真分数之和为：85×8÷85＝8；
②1～84中，17的倍数有（5-1=）4个，等差数列排列，总和为：
17+34+51+68＝85×2。
分母为85，分子是17的倍数的真分数之和为：85×2÷85＝2；
③分母是85的所有真分数的分子之和为：
1+2+3+…+83+84＝（1+84）×84÷2＝85×42，
分母为85的所有真分数之和为：85×42÷85＝42。
所以，符合条件的最简真分数的和为：42－8－2＝32。
《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题1
【题目】：
分子、分母的乘积是420的最简真分数共有多少个？
【解析】：
解法一：先按顺序对420成对分解因数。
420＝1×420＝2×210＝3×140＝4×105＝5×84＝6×70＝7×60
＝10×42＝12×35＝15×28＝20×21
找出每组互质的因数，可得符合条件的最简真分数共有8个：
1/420，3/140，4/105，5/84，7/60，12/35，15/28，20/21。
解法二：先对420分解质因数。
420＝2×2×3×5×7
根据分解情况，找出每组积为420且互质的两个因数，可得符合条件的最简真分数共有8个：
1/420，3/140，4/105，5/84，7/60，12/35，15/28，20/21。
《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题2
【题目】：
一个最简真分数的分子、分母是两个连续自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是2/3，原来这个分数是多少？
【解析】：
假设分数分子为2x，则新分数分母为3x，由题意可得：
3x＝2x＋1＋4
解得：x＝5
2x＝2×5＝10； 2x＋1＝10＋1＝11
所以，原来这个分数是10/11。