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【原创】奥数解析（二十一）圆的周长计算

2017-11-05 15:23阅读：

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六年级奥数解析（二十一）圆的周长计算

《奥赛天天练》第21讲《圆的周长计算》。
圆是小学阶段学习的最后一种平面图形，围成圆的封闭曲线的长，就是圆的周长。本讲学习和探讨圆的周长，可以让孩子进一步认识平面图形圆的特征，提高他们解答组合图形周长问题的能力。
圆的周长和直径成正比例关系，比值就是圆周率。
由此可以推出，圆的周长公式为：① C=πd　；② C=2πr。
⑴弧长公式。
n度圆心角所对应的弧长，是对应的圆的周长的n/360。
⑵大小不同的圆的周长之间的关系。
根据圆的周长与直径之间的比例关系和圆的周长公式，可以推出直径为D的大圆的周长C,与直径为d
1、d2、d3、d4、…、dn的小圆的周长C1、C2、C3、C4、…、Cn之间有这样的关系：
① C1/ C =πd1 / πD = d1 / D；
② 如果：d1＋d2＋d3＋d4＋…＋dn＝D，
则：C1＋C2＋C3＋C4＋…＋Cn
=πd1＋πd2＋πd3＋πd4＋…＋πdn
=π（d1＋d2＋d3＋d4＋…＋dn）
=πD
＝C
即：两个圆的周长比就等于这两个圆的直径比；任意几个小圆的直径之和等于一个大圆直径，则这几个小圆的周长之和就等于这个大圆的周长。
⑶半圆的周长。
半圆是由圆周的一半和一条直径围成的，半圆的周长就等于圆周长的一半与一条直径的长度之和。可以推导出半圆周长公式为：
①半圆周长＝d＋πd×1/2＝d×（1＋π/2）；
②半圆周长＝2r＋2πr×1/2＝2r＋πr
⑷组合图形周长。
求组合图形的周长之前，要认真观察、分析，弄清组合图形的周长是由哪些线段或曲线组成的。先求出组合图形周长每个组成部分的长度，再求出各个组成部分的长度之和。
《奥赛天天练》第21讲，模仿训练，练习1
【题目】：

如图，正方形ABCD的边长是1厘米，BK长5厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？
【原创】奥数解析（二十一）圆的周长计算
【解析】：
上图阴影部分的周长是由弧EF、弧FG、弧GH、弧HK和线段EK组成的。
同圆中每一条半径的长度都相等，可得图中：
BE＝BC＝1（厘米）；
AF＝AE＝AB＋BE＝2（厘米）；
DG＝DF＝DA＋AF＝3（厘米）；
EK＝CH＝CG＝CD＋DG＝4（厘米）；
BK＝4+1＝5（厘米）。
弧EF、弧FG、弧GH、弧HK的圆心角都是90度，弧长分别是对应的圆的周长的四分之一。
所以，题中阴影部分的周长为：
2∏×2×1/4＋2∏×3×1/4＋2∏×4×1/4＋2∏×5×1/4＋4
＝2∏×(2＋3＋4＋5) ×1/4＋4
＝25.98（厘米）。
《奥赛天天练》第21讲，模仿训练，练习2
【题目】：
如图，已知一大圆中紧紧地排列三个半径不同的小圆，并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上，试比较外面一个大圆的周长与里面三个小圆的周长的和，哪一个长？为什么？
【原创】奥数解析（二十一）圆的周长计算
【解析】：
外面大圆的周长与里面三个小圆的周长的和相等。
证明：
假设里面三个小圆的直径依次为：d1、d2、d3
则外面大圆的直径为：d1＋d2＋d3
三个小圆的周长和为：
∏d1＋∏d2＋∏d3＝∏×（d1＋d2＋d3）
即等于外面大圆的周长。
《奥赛天天练》第21讲，巩固训练，习题1
【题目】：
求下图阴影部分周长。（单位：厘米）
【原创】奥数解析（二十一）圆的周长计算
【解析】：
阴影部分是由两条4厘米长的线段和两条弧围成的。
60/360＝1/6
每条弧长分别是对应圆周长的六分之一。
所求阴影部分周长为：
2×4＋2×3.14×4×1/6＋2×3.14×（4＋4）×1/6＝20.56（厘米）。
《奥赛天天练》第21讲，巩固训练，习题2
【题目】：
已知AB＝50厘米，求图中各圆的周长总和。
【原创】奥数解析（二十一）圆的周长计算
【解析】：
任意几个小圆的直径之和等于一个大圆直径，则这几个小圆的周长之和就等于这个大圆的周长。
上图中5个小圆的直径和等于AB的长度50厘米，这5个圆的周长之和就等于直径50厘米的大圆的周长：
2×3.14×50＝314（厘米）。
《奥赛天天练》第21讲，拓展提高，习题1
【题目】：
一个半圆的周长是10.28分米，它的半径是多少分米？
【解析】：
假设这个半圆的半径为r，根据半圆的周长公式可得：
2r＋3.14r＝10.28
解得：r＝2
所以这个半圆的半径为2厘米。
《奥赛天天练》第21讲，拓展提高，习题2
【题目】：
如图，三角形的边长都为3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚三次，求A点经过的路程长。
【原创】奥数解析（二十一）圆的周长计算


【解析】：
如上图所示，三角形第一次绕C点翻滚，CA绕C点旋转120度，A点经过的路程长为半径3厘米、圆心角120度的弧长。
同理，三角形第二次绕B点翻滚，A点经过的路程长仍然为半径3厘米、圆心角120度的弧长。
三角形第三次绕A点翻滚，A点在原位置旋转，经过的路程为零。
所以，三角形三次翻滚后，A点经过的路程总长为：
2×3.14×3×（120/360＋120/360）＝12.56（厘米）。


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