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【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）

2017-11-05 19:08阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/6336461290

第24讲《旋转平移法求面积》

方法介绍：在求组合图形阴影部分面积时，阴影部分可能是一个不规则图形或零散分布的几个图形，根据图形形状特征，先将其中的一部分绕某个点旋转或绕某条直线平移后，与其中的另一部分拼成比较规则的图形，再用相应规则图形的面积公式求解，这种求面积的方法就叫做旋转平移法。旋转平移法求面积的实质也是割和补，只不过是通过旋转、平移的方式来补。
《奥赛天天练》第24讲，模仿训练，练习1
【题目】：
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）




【解析】：

如下图，将①号弓形绕P点旋转对折后拼到②号空白处，拼成的阴影部分正好与三角形POB重合。
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
所求阴影部分总面积就等于三角形POB的面积：
4×4÷2÷2＝4（平方厘米）
《奥赛天天练》第24讲，模仿训练，练习2
【题目】：
图中三个圆的周长都是25.12厘米，不用测量，计算出图中阴影部分的总面积。
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
【解析】：
上图中3个圆的周长相等，即阴影部分是3个半径相等的扇形，半径为：
25.12÷3.14÷2＝4（厘米）
这3个扇形半径相等，沿着梯形的边平移，再旋转后可以拼成一个大的扇形。任意四边形的内角和都是360度，则阴影部分3个扇形拼成的大扇形的圆心角为：
360－90＝270（度）
所求阴影部分面积为：
3.14×42×270/360＝37.68（平方厘米）
《奥赛天天练》第24讲，巩固训练，习题1
【题目】：

【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
求阴影部分面积。（单位：厘米）



【解析】：
如下图，把上图中阴影部分分割为3部分：


【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）


再根据每部分图形的形状，将①号阴影部分向右平移到A空白处，将②号阴影部分向左平移到B空白处。从而把求不规则的阴影部分面积，转化为求长方形的面积。
所求阴影部分面积为：
4×2＝8（平方厘米）
《奥赛天天练》第24讲，巩固训练，习题2
【题目】：
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
图中正方形边长为8米，求阴影部分面积。



【解析】：
解法一：如下图，画出正方形的两条对角线，把正方形分成4个相同的三角形。
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
再将①号②号阴影部分分别绕正方形中心点旋转90度，拼A空白处和B空白处，阴影部分被割补成2个三角形，其面积正好等于长方形面积的一半。
所求阴影部分面积为：
82÷2＝32（平方米）
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
解法二：如下图，在原来的图形再添一个半圆圆周的辅助线。




正方形被4个半圆圆周分成了8小块，中间4块同样的树叶形图形和4条边上的4个同样的不规则图形，阴影部分有4块，每种形状有两块。
可以推出阴影部分总面积占正方形面积的一半，是32平方米。
《奥赛天天练》第24讲，拓展提高，习题1
【题目】：
如图，已知大圆半径是6厘米，小圆半径是3厘米，求阴影部分面积。
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
【解析】：
如下图：
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
大圆小圆是同心圆，将最左边的半径6厘米的小扇形绕圆心旋转90度，将①号阴影部分拼到②号空白处，可以把阴影部分割补成一个1/4环形。
所以图中阴影部分面积为：
3.14×（62－32）×1/4＝21.195（平方厘米）
《奥赛天天练》第24讲，拓展提高，习题2
【题目】：
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
正方形ABCD面积为16平方厘米，求阴影部分面积。





【解析】：
观察上图，以O为圆心的两个同心圆中间的环形被正方形ABCD的四条边分成了12小块，阴影部分和空白部分各占6小块。
如下图：线段EF右边的3块阴影部分绕圆心O各旋转90度，正好填补在线段EF左边的3小块空白处，与左边原有的3块阴影部分正好拼成半个环形。
【原创】奥数解析（二十四）组合图形的面积计算（三）
解法一：正方形面积为16平方厘米，16＝4×4，则正方形的边长为4厘米。
根据勾股定理，直角三角形OGB中，OB2－OG2＝GB2＝(4/2)2＝4。
OB是大圆半径，OG是小圆半径，则所求阴影部分面积为：
3.14×（OB2－OG2）÷2
＝3.14×4÷2
＝6.28（平方厘米）
解法二：如上图，AC、DB两条对角线把正方形ABCD分成了4个直角三角形，每两个直角三角形斜边重合可以拼成一个小的正方形，4个三角形可以拼成2个相同的小正方形。这样的小正方形的边长就是大圆的半径R，小正方形的面积正好等于正方形ABCD面积的一半。即：R2＝16÷2＝8。
上图中EF、OG所在的直线把正方形ABCD分割成4个相同的小正方形，这样的小正方形的边长就是小圆的半径r，小正方形的面积正好等于正方形ABCD面积的1/4。即：r2＝16÷4＝4。
则所求阴影部分面积为：
3.14×（R2－r2）÷2
＝3.14×（8－4）÷2
＝3.14×4÷2
＝6.28（平方厘米）

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