【原创】奥数解析（四十七）最优化问题

2017-11-09 19:19阅读：

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六年级奥数解析（四十七）最优化问题

《奥赛天天练》第47讲《最优化问题》。
在日常生产、生活中，无论做任何一件事，人们总希望以最少的代价（最小的投资、最少的人力、最快的速度）取得最大的效益，这就是优化问题。最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优的目标。
不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。反之,某些最优化方法可适用于不同类型的问题模型。
最优化问题在四年级奥数课堂和五年级奥数课堂就已经开始学习，相关内容请查阅：
四年级奥数解析（二十八）合理安排
五年级奥数解析（二十）最佳选择
本讲在四、五年级已有的基础上，引导孩子进一步学习一些新的的最优化问题和优化方法，逐步学会从整体上统筹考虑问题，设计出最优化的解决问题的方案，科学合理地安排工作顺序，达到最优化目标。增强孩子解决此类问题的能力，发散思维、扩大视野。
《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习1
【题目】：
张老师找甲、乙、丙三位学生来办公室谈话，甲要10分钟谈完，乙要12分钟谈完，丙要8分钟谈完。怎样安排三人谈话顺序，使三人花的总时间最少

？最少是多少分钟？
【解析】：
最优化方案：
老师和这3个人谈话的时间是固定的，要使总用时最少，关键是减少等候时间。第一个谈话的人不需要等待，第二个人需要等1人次（第一个人谈话时间），第三个人需要等2人次（前两个人的谈话时间之和），要使每个人的等待时间最短，应该按谈话时间由少到多安排理发的先后顺序依次安排为：丙、甲、乙。
计算方法：
老师和丙谈话的同时，甲、乙等待，总消耗时间为3个8分钟；和甲谈话时，只有乙等待，总消耗时间为2个10分钟；最后和乙谈话需要12分钟。
所以三人花的总时间最少是：
8×3＋10×2＋12=56（分钟）。
《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习2
【题目】：
甲、乙两仓库存有若干化肥，甲仓可运出10吨，乙仓可运出4吨。现决定给东村8吨，给西村6吨，每吨的运费如下表。怎样调运是运费最省？最省运费是多少？

【原创】奥数解析（四十七）最优化问题

【解析】：
解法一：推理计算。
甲、乙两仓库共可以运出14吨化肥，东、西两村正好需要14吨化肥。对于任意的调运方案，如果在已定方案中调整，从甲仓库多往西村运一吨化肥，就要从乙仓库多运1吨到东村，反之亦然。
甲仓库运一吨化肥到西村，乙仓库运1吨化肥到东村，共需费用：
40＋50＝90（元）
乙仓库运一吨化肥到西村，甲仓库运1吨化肥到东村，共需费用：
30＋80＝110（元）
110元＞90元
因此，调运时尽量从甲仓库运化肥去西村运费最省，西村6吨化肥全部由甲仓库调运，剩下化肥全部调运到东村。
所求最省运费为：
40×6＋（10－6）×80＋4×50＝760（元）。
解法一：求函数极值。
本题的调运费用，随甲仓库调运到西村的化肥吨数的变化而变化。
假设从甲仓库调运x（x≤6）吨化肥到西村，则从甲仓库调往东村的化肥为（10－x）吨，从乙仓库调往东村的化肥为（6－x）吨，从乙仓库调往东村的化肥为〔4－（6－x）〕吨，根据题中的条件，可以用含有x的代数式表示出总的调运费用为：
40x＋（10－x）×80＋（6－x）×30＋50×〔4－（6－x）〕
化简为：880－20x
只有x取最大值6时，运费最省，最省运费为：
880－20×6＝760（元）。
注：本题运用函数法求解，题中的变量x也可以选取其它的数量。
《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题1
【题目】：
在下图中，每个数字表示走这段路所需要的时间（单位：分钟），求从A到B的最短时间？

【原创】奥数解析（四十七）最优化问题

【解析】：
如上图，从A到B的路径非常多，解答这类习题，一般先排除一些比较复杂、费时的路径，选择几条比较近的路径，再进行计算比较，选出最优路径。
从图中可以看出，从A点出发可以直接到达O点和C点，到达这两点所花时间相同。
如果选择从A点到C点。从C点出发经过M、D、E点到达B点费时最短。共需要时间：
18＋4＋6＋17＋10＝55（分钟）
如果选择从A点到O点。从O点出发经过P、H、E点到达B点费时最短。共需要时间：
18＋7＋10＋9＋10＝54（分钟）
所以从A到B的最短时间为54分钟。
《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题2
【题目】：
甲城由157吨货物要运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，耗油量分别是10升和7.5升，用多少辆大卡车和小卡车来运输，耗油量最省？
【解析】：
要使耗油量最省需要考虑两个方面的问题：首先要比较用哪种车运货，耗油量比较节省；其次要让卡车尽量满载，避免空位浪费。
10÷5＝2（升）
7.5÷3＝2.5（升）
显然，用大卡车运货平均每吨货物的耗油量低于小卡车，运输中要尽量用大卡车运货。
157÷5＝31（辆）……2（吨）
29×5＋4×3＝157（吨）
157吨货物用大卡车运需要31辆，还剩下2吨货物。
要同时兼顾尽量用大卡车运货、尽量减少卡车运货空位，有两种运输方案。
方案一：用31辆大卡车，剩下2吨货物用一辆小卡车，小卡车有1吨空位，总耗油量为：
31×10＋7.5＝317.5（升）
方案二：最多用29辆大卡车，再加上4辆小卡车，每辆车都满载，总耗油量为：
29×10＋4×7.5＝320（升）
所以，用31辆大卡车，1辆小卡车来运输，耗油最省。
《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题1
【题目】：
有4辆汽车要派往五个地点运送货物，图中“○”中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。如果这些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用装卸工总人数最少。

【原创】奥数解析（四十七）最优化问题

【解析】：
五个地点中，每个地点最少需要3人，最多需要5人。
当跟车人数在3人以内时，如果每辆汽车安排跟车1人，4辆车需要4人。每个地点就可以少安排一个装卸工，5个地点可以少安排5人。总人数减少1人。
当跟车人数超过3人，跟车人数每增加1人，4辆车需要增加4人。但五个地点中有2个地点在3人以内，最多只有3个地点可以少安排3个人，总人数至少增加1人。
所以，每辆车跟车3人，需要5名装卸工的地点各安排2名装卸工，需要4名装卸工的地点安排1名装卸工，这样完成任务所用的装卸工总人数最少，最少人数为：
3×4＋2×2＋1＝17（人）。
《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题2
【题目】：
某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。已知两个车间都生产这种健身球，甲车间每月用3/5的时间生产黑球，2/5的时间生产白球，每月生产270套；乙车间每月用2/3的时间生产黑球，1/3的时间生产白球，每月生产300套。现在两个车间联合起来生产，每月最多能生产多少套健身球？
【解析】：
甲每月可生产黑球：270÷3/5＝450（个）
甲每月可生产白球：270÷2/5＝675（个）
乙每月可生产黑球：300÷2/3＝450（个）
乙每月可生产白球：300÷1/3＝900（个）
根据计算可知，甲、乙两个车间生产黑球的效率相同，乙车间生产白球的速度比甲车间快得多，白球应尽量让乙车间来生产。
又因为乙车间生产白球比生产黑球快得多，且黑、白球要等量配套，所以应安排甲车间全部生产黑球，乙车间在完成全部配套白球后，剩下时间仍然配合生产黑球。
解法一：方程求解。
假设每月最多能生产x套健身球，乙每月生产黑球的时间为x/900，生产白球的时间为（x－450）/450，根据题意可得：
x/900＋（x－450）/450＝1
解得：x＝600
两个厂每月最多能生产600套健身球。
解法二：分类计算。
甲车间每月可生产450个黑球，乙车间生产出这部分配套白球，需要半个月时间：
450÷900＝1/2（个）
乙车间还剩下半个月可以生产健身球：
300×1/2＝150（套）
两个厂每月最多能生产健身球：
450＋150＝600（套）。

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