悟数学思想与方法，提高数学素养。拓展的内容可以是对教材中某一概念进行追根溯源的探究，可以是针对数学教材某一重点、难点知识的深入挖掘、开发，可以是对某一数学思想与方法的渗透、提炼，也可以是与其他学科知识的整合等。
三、研究目标
1．通过文献和调查研究，明确小学数学拓展课程的内涵、特点、价值及现状。
2．通过对小学中年级数学拓展课程内容选择和实施策略的研究，让每个孩子在不同程度上获得发展。
3．探索小学中年级数学拓展课程的评价体系，促进学生全面发展，提升教师专业素养。
四、研究内容
1. 小学数学拓展课程的文献研究
（1）小学数学拓展课程的内涵
（2）小学数学拓展课程的特点
（3）小学数学拓展课程的价值
2. 调查小学中年级数学拓展课程的现状
3. 小学中年级数学拓展课程内容选择的研究
4. 小学中年级数学拓展课程的实施策略研究
5. 小学中年级数学拓展课程的评价研究
五、 研究方法
1．文献研究法：在课题研究中，有意识、有针对性地搜集与数学拓展课程相关的资料，供学生学习和课堂所用，在前人研究的基础上，实现新的突破和发展。
2．问卷调查法：通过问卷调查形式掌握中年段数学拓展课程的现状，了解学生对于数学学习内容的需求，教师开展此项研究的需求，让课题的研究更客观、更准确、也更有价值。
3．行动研究法:
本课题研究与课堂教学紧密结合，是在每学期的拓展教学中对教学的研究并在实践中加以检验、充实、修正。边执行、边评价、边修改。将教学与研究工作相结合，使研究同教育实践的具体行动紧密相连。
六、研究过程及成效
（一）小学数学拓展课程的文献研究
我们在广泛收集和精心选择文献资料的基础上，每2周组织开展一次理论学习，对小学数学拓展课程的相关文献进行深入研究。一次次的交流汇报，明确了小学数学拓展课程内涵、特点及价值。
1． 小学数学拓展课程的内涵
以小学数学课程知识为载体，旨在课程内容的意义空间，文化内涵，生活底蕴中去延伸、
开拓，以发展学生的数学思维和数学素养为核心的校本课程。数学拓展课程旨在落实学校的育人目标、发展学生的不同基础、培养学生的主体意识、完善学生的认知结构、拓宽学生的学习渠道、改善学生的学习方式、提高学生的自我管理和选择学习能力、形成学生的自我发展方向。
2．小学数学拓展课程的特点
（1）趣味性：这里指两方面，一是形式有趣，二是内容有趣。富有趣味性的学习内容，才能让学生产生探究的兴趣与欲望，才能产生良好的学习效果。
（2）探究性：数学教学不仅仅是知识教学，更是智慧教学。学生学习并不是简单地获取知识，而是在获取知识的过程中发展思维能力，提高解决问题的能力。小学数学拓展课程的学习内容源于教材、宽于教材、高于教材，不是学生一看就懂、一做就对的常规练习题。与教材比，它更具有探索性与挑战性。
（3）综合性：淡化甚至打破学科原有的界限,学生常常需要运用多种学科的知识和多种能力去解决问题,这样有助于培养学生的综合素质和能力。例如主题拓展课程，以主题为核心进行超级链接，将相关联的内容连城链，织成网形成块，聚成球。比如潘小福老师介绍的以“乘法口诀”为主题的拓展课程，将之与语文结合在一起。
（4）实践性：强调学生在活动中学,获得直接体验和经验,活动性原则源自杜威的“从做中学”理论,鼓励学生在动手实践中观察,体会和学习,获得对事物的切身体验和感受,即直接经验,而非从书本或教师那里习得的间接经验,直接经验的获得更易被学生接受并内化为学生自己的知识,也更能够在实际问题的解决中加以灵活应用。
3．小学数学拓展课程的价值
(1)理论价值
小学数学拓展课程丰富了小学数学教学内容，为小学数学老师的教育教学提供科学的理论依据，有利于教师专业的发展和素养的提高，完善了小学数学拓展课程体系。
(2)实践价值
给学生提供丰富的学习素材。
为了改变学习内容单一的现状，引入一些拓展性内容，如数学游戏、数学故事、数学趣题、数学名题、数学绘本、数学益智类游戏等，开发系列拓展课。这为学生提供了丰富的学习内容、研究素材，让他们享受到探究的乐趣，全面提升了他们的观察力、分析力、判断力、想象力、创造力等各方面能力，使他们从“有知识的人”走向“有智慧的人”。
给教师提供丰富的拓展课资源包。
小学数学拓展课程的学习内容可能来自一道思维含量大的习题，可能来自某一知识点的拓展与延伸，也可能来自某一数学思想等等。它不仅需要教师投入大量时间与精力，在广泛的阅读中收集好的学习素材，更需要教师具有一定的教材处理能力、教学设计能力。很多教师认识到了上拓展课的必要性，也很想上，但是缺乏经验、时间、精力去开发拓展课学习素材。因此，本课题研究则努力为此提供一套拓展课教材或教学案例集。
给教学研究提供有效的平台
教师专业发展的路径是多元化，要完成从教书匠到学者型、研究型教师的转变，教师需要自觉参与课例、课题研究。教材中的每一个课例几乎都有许多人做过深入研究，很多教师觉得没有继续研究的空间，也就没有继续研究的热情，而关于拓展课的研究还是很少的，它可以为教师研究提供有效的平台，激发他们自主学习和解决教育、教学实践难题的兴趣。
（二）调查小学中年级数学拓展课程的现状
在研究初期，我们在三、四年级抽取100名学生发放了《博爱教育集团拓展课程（数学）学生调查问卷》（附表一），在数学老师中发放了《博爱教育集团拓展课程（数学）开发与实施情况教师调查问卷》20份(附表二）。通过问卷的数据收集分析，我们发现了下述的一些现象。
1．学生需要数学课外内容的补充。通过调查我们发现90%的学生愿意或比较愿意学习数学书本以外和数学相关的知识，同样针对“你对哪些数学知识感兴趣，想在拓展课程中学习？”这个问题，超过50%的孩子认为还可以了解一些数学文化方面的知识，希望通过自己动手制作、实验来掌握一些数学知识。通过这些数据，我们不难看出，现在的孩子对于教材以外的知识需求是很大的。
2．学生比较喜欢动手操作类和数字游戏类的拓展课程。35%的学生希望今后能学习动手操作类的拓展课程，31%学生希望今后能学习数字游戏类的拓展课程。今后在实施的过程中，教师要根据学生的需求多开设动手操作类和数字游戏类的拓展课程。
3．老师们开设拓展课程的主动性不高。80%老师直接沿用之前的相关教案，而且在实际授课中不能很好的处理学生的突然发问，也不能很好的书本知识融入其中。老师普遍需要学校应该提供系统性的培训,帮助他们提高课堂的授课效率。
4．拓展课程的课时太少。63%的老师觉得拓展课程的课时不够用，比如说数独，数棋和聪明格，几课时的教学仅仅让学生了解其中的一些基本规则，根本无法让他们掌握全部的解题技巧，或下棋步奏。这在一定程度上会影响学生的自信，他们以为已经学会了，却不能解答复杂的题目，对自己的能力产生了怀疑。这点需要我们老师深入研讨和探究，如何能够在一定的课时内，让书本知识和拓展课程的教学都能得到最大的效率。
（三）小学中年级数学拓展课程内容选择的研究。
数学拓展课程要兼顾学生在数学学科领域内、外的拓展学习需求。在数学学科领域内，帮助学生整体理解数学知识体系并发展数学思维，夯实数学知识基础，拓宽数学应用；在数学学科领域外，在学生感兴趣的方向上继续提供学习资源，帮助他们适度聚敛兴趣方向，在兴趣的发展中开发潜能、拓展视野和提高能力。
1. 以教材内容为基点，进行适度拓展。
教师首先要基于数学基础课程，盘活教材中的相关内容，并进行有效的利用和转化，适
度的拓展和提升，增设一些有利于发展学生学习方式的探索性和创造性素材，拓展学生数学学习的空间。
如三年级的《一一间隔》，这一知识对于三年级的孩子来说是很抽象的，是本册书的难点。为了让孩子们更好地理解一一间隔现象，我们开发了拓展课程《有趣的间隔》。通过种树的生活实例，让学生画一画、找一找、算一算，深入探究一一间隔的不种类型，从而更好地认识一一间隔现象，从生活、人文、科学等角度进行已学内容的扩展和延伸，尤其注重培养学生对数学的兴趣、灵活运用知识的能力和敢想敢做敢问的胆量。
又如四年级《简单的周期》，小学数学对周期的定义主要指物体或者同一状态所需要的时间。比如一年12个月，1月、2月、3月……12月周而复始；一星期工作5天、休息2天、工作5天、休息2天……依次不断重复；春、夏、秋、冬……四季轮回等。这些现象都有一种“循环”的结构，这种具有确定结构的现象，我们称之为“周期现象”。我们根据周期的概念开发了《巧妙的周期》拓展课程，通过探索图形、数列、年月日中的周期现象，从而让孩子深刻体会周期现象的本质。
结合开发的数学拓展课程，我们对中年段三、四年级数学课程校本化实施作了整体的安排。（见附表三、四）
2.以数学能力发展和经验积累为重点，有机组织内容。
课程标准特别强调“数学活动经验的积累是提高学生素养的重要标志。”帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。
比如四年级拓展课程《神奇的莫比乌斯带》，教师引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特点，学会将长方形纸制成“莫比乌斯带”，培养学生大胆猜测勇于探究的求索精神。在教学过程中设计了提问题——做纸圈——剪纸圈——画纸圈——证明纸圈这样一个环环相扣的过程，为学生提供了大量观察、思考、猜测、验证、自我探索和合作交流的空间，使学生真正掌握数学知识的同时学习了数学思想方法和技能，还能获得广泛的数学活动经验。
再如，三年级的学生在学习四边形这单元内容的时候，已经对长方形、正方形的特征及其周长计算公式有了一定的认识，能够利用周长的计算公式解决实际问题。在此基础上，我们开发了拓展课程《巧算周长》。让学生将本单元知识与平移旋转的知识进行结合，探究不规则图形周长的计算，运用平移的方法把复杂的图形转化成规则的图形来计算周长，培养学生转化的思想和化曲为直的思想，发展学生的数学能力和数学素养。
3.将教学内容与数学游戏有机整合构建内容
课题组认为，数学拓展性课程内容的选择，应建立大数学、大教育的理念，目的是埋下种子，而不必过于追求即时的收获。数学玩具、数学游戏、数学绘本是数学拓展课程内容选择的重要源泉。魔方、扫雷、多米诺骨牌、数独以及很多数学绘本，都隐含着大量的数学知识和数学原理，对激发学生学习数学的兴趣，自觉运用数学知识解决问题，促进学生数学推理能力和空间想象能力的提高，形成对数学的正确理解和积极情感，都有非常重要的意义。例如四年级将“算24点比赛”进行了提升，结合混合运算的学习（运算顺序、小括号、中括号的使用）开展扑克牌算24点，并列出正确的综合算式的比赛。
若数学学习能够像游戏一样有趣，学生会主动参与，乐此不疲陶醉其中。“儿童游戏中常寓有深刻的思想。”游戏不但可以愉悦身心、强健身体，还能活跃思维、启迪心智。教师可以把游戏和数学结合起来，让数学自主拓展课程游戏化，让学生在快乐的游戏中自主探究、增长智慧。
（四）小学中年级数学拓展课程的实施策略研究
1、找准趣味点
拓展课程首先要考虑“趣味性”。数学小实验，让孩子在动手操作实践中收获知识，感悟方法，获得经验，是我们拓展课程实施的一种重要方式。比如学习了《升和毫升》单元，我们开发了拓展课程《量器中的奥秘》。首先，要求学生“在自己身上找量器”。有的孩子发现自己喝
100
毫升的酸奶，嘴里装满，咽完，再装满咽下去，最多喝两口，所以一口的容量大约是50毫升，再用自己的口去量一个杯子的容量。有的孩子两手合拢掬一捧水大约是50毫升。接着，实验“1升有多少”，让各小组把1升水分别倒入勺子、冰红茶瓶、饭碗和纸杯中，观察并记录1升水可以分别倒满几个相同的容器。学生通过实验发现：1升水大约能装满1勺，或2个冰红茶瓶，或3个饭碗，或4个纸杯。
丰富的操作活动有助于形成1升的容量观念，学生对1升的空间观念由模糊逐渐变得清晰、准确，对抽象概念获得感性认识。数学实验性拓展课程使学生的数学学习过程走向丰富、开放、生动和多样，激发了学习的兴趣。
2、找到挑战点
拓展课程的挑战点在于让学生的思维活起来。孩子们在学习了《升与毫升》后，都想来制作一个属于自己的“量器”。课题组老师以“制作创意量器”为主题，指导学生利用废旧塑料瓶，动手制作一个1L的量器。同学们都纷纷从家中找来了造型各异的废弃瓶子和不同大小的量杯、量筒，借助量杯来灌水，在做上记号定刻度，反复试验校准确，发挥想象来美化。于是，独特而有创意的量器就在我们的数学拓展课堂里诞生。收获知识，感悟方法，获得经验，同时还培养学生热爱生活和环保意识。以下是孩子们和家长在这个拓展课程中的感受：
我们制作了一升容器。做完了一升容器，我了解了：一升有多少，1/4升、1/2升到底有多少。让我更深刻地了解了升与毫升的奥秘。所以我非常喜欢这个益智的小实践，让我收获更多的知识。——
四（1）班
田雨葭
平常谈到量器，给我的感觉很高大上，做量器可是一件难事呢。没想到在数学课上，我竟然能用空汽水瓶亲手做一个“量瓶”呢！做完量器后，我才明白做一个量器一点不难，而且非常有趣。——四（7）班
李鑫玥
《制作1升量器》这个活动，让孩子自己动手在塑料瓶中找到250毫升、500毫升和1升，制作成一个量器。让孩子寻找科学的方法，在眼、脑、手的配合下更清晰地认识了这些量。通过这次活动，使孩子能在生活中去寻找数学，在数学中加强了生活经验。这次活动我们家长觉得非常棒！——四（3）班
顾奕诚家长
通过这次制作量器的活动，孩子进一步强化了1升的认识，估计常见容器容量的能力提高了，动手操作的能力也加强了，学习数学的兴趣更浓了。——四（5）班
高艺睿家长
3、补充延伸点
漂亮的容器做好了，孩子们立刻兴奋地用它来测量。在测量过程中，我们适时引导孩子，如果在容器中放入不同的物品，例如分别放入水、油、黄沙、米、大豆等，质量会有所不同么？这可激发了孩子们强烈的求知欲，测量同样一升的不同东西，得到质量各不相同的结论。其实这不就是不同物质的密度么？孩子们通过自己的实验，不仅对密度有了初步的体验，更是积累了数学活动的经验。
再如三年级的《生活中的对称美》是在学习了轴对称图形之后的拓展课程。老师们通过“四个一”设计课程：剪一剪，感知轴对称图形的特征；折一折，判断轴对称图形；画一画，体会对称轴的位置；做一做，创造出各种形状的轴对称图形。精美的卡纸秀兴致未减，基于轴对称知识的拓展延伸——感受另一种“中心对称”的美，“趣味大风车”的活动又紧锣密鼓地开始了。孩子们先拿出一张正方形卡纸，沿对角线对折两次，然后拿出铅笔做记号，从四边向中间剪裁，“注意不能剪到头哦！”在实践中，他们自己总结了经验。剪完之后把四个角沿顺时针方向一个一个贴到中间，瞧，一个美丽的大风车就做好了，小朋友们一起合作，用笔在风车中间穿个孔，又串上绳子，两端一拉，精美的风车随着风的方向转动起来，就像一个个小精灵在风中跳芭蕾。轴对称的数学美在拓展课堂中得到了淋漓尽致地呈现，学生的动手能力和数学思维发展的到了有机的结合，数学建构思想和方法也得到了有效的培养。
（五）小学中年级数学拓展课程的评价研究
以发展性评价、表现性评价等现代教育评价理念为指导，评价的对象可以是学生、教师和课程本身，主要评价学生、教师在课程实施过程中自身素养的提升，评价课程开发与实施策略的改善。
1.教学评价方式多样
学生的学习形式多样，有自主型，有合作型，有交流型，有探究型等等，因此教学评价也应该有所变化，不能以一种统一的标准去进行评价，否则获得的评价结果一定是不准确的。以下例举几项不同拓展课程中的评价方式：
拓展课程类型
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表现性评价
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发展性评价
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生活中的对称美
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剪纸小报展评
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通过剪纸积极性、参与度、小组合作等维度进行评讲。
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量器的使用
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量器的制作展评
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通过量器制作的参与度、创新度、合作等维度进行评价。
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多米诺骨牌
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拼搭骨牌展评
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通过课堂参与度、学习方式、完成度来进行评价。
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24点
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快速口答
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通过发言次数、计算准确率、积极性等维度进行评价。
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扫雷
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在图中标出雷区
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通过学习进度、发言次数、发言水平等维度进行评价。
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......
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......
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......
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教师从学生学习过程中的积极性、参与度、发言次数、发言水平、学习方式、学习进度等放慢来进行有区别的、有针对性的评价。实践证明，通过不同的评价方式，学生得到了切实的发展：
(1)提高了学生参与学习活动的积极性。通过这样的评价，对学生的学习活动有着明确的指导作用，学生能够从教师的教学评价中及时的发现自己的问题，及时调整自己的状态，激励学生达到最好的学习状态。
(2)使学生了解各项学习活动的标准。通过不同标准的评价，学生了解在小组合作时应该如何分工完成任务，了解在与教师的对话中应该以“我知道了...”、“我认为...”这样的句式进行交流，促进学生形成规范化的课堂活动，在不同的活动中达到不同的标准。
(3)提高学生发现和解决实际问题的能力。通过过程性的评价，了解学生能否主动参与数学活动，帮助学生进行合作交流活动，重视了学生发现问题、提出问题、解决问题的过程，帮助学生使用恰当的方法解决不同的问题，使数学学习具有层次性与自主性。
2.教学评价过程开放
以前的教学评价基本上是以教师为主体来进行评价的，采用这种形式的评价，学生只能从教师只言片语的评价中获得一点反馈，对于学习改进作用甚微。教学评价过程的开放是指教师与学生一起进行评价，或者叫是当着学生的面进行教学评价，与学生及时沟通，及时发现问题，及时指出问题并解决问题。除此以外，还能由学生进行自评与互评，教师最后总结评价，自评中学生必须说明从本节课中学到了怎样的知识，学会了怎样的学习方式。
通过这样的评价方式，学生反馈可以清楚地了解教学评价的方式与标准，便于以后的学习过程中心中有一把标尺，使学习更加有方向性。（下图为三年级学生拓展课程自评表）
3.教学评价的结果要尊重个性差异
每一个学生都是不同的生命个体，在小学阶段已经开始呈现显著的个体差异性。因此，教师在教学评价中就要注意保护学生的学习兴趣，不用一种标准去要求所有学生，制造学习机器，而是尽量地尊重并积极调控这种个性特征，发挥教学评价的调控作用与指向作用，尊重学生的学习成果，使每一个学生都能够准确地明确自己的发展方向与发展方式，从而获得最优的发展方案与最大的发展空间。
七、研究的其它成果
1.李苏霞老师执教的数学拓展课《神奇的七巧板》获得天宁区信息化课堂教学二等奖。
2.论文发表及获奖
姓名
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论文名称
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发表或获奖
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张靖
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《小学数学依托拓展课程的研究》
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2018年12月《好家长》
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孙瑞禧
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《立足教材，开拓思维----谈小学数学拓展课程的设计与实施》
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天宁区第13届“教海探航”征文竞赛数学学科二等奖
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八、后续研究的思考
作为本课题的研究，它的价值取向应是通过研究指导和更新教育行为、教育实践获得的
改善。一年多的时间内，我们课题组全体成员进行了大胆的尝试和有益的研究，也取得了一些成果。随着课题不断向纵深推进，课题组觉得还有一些问题是值得进行深入思考了。
1．我们在进行教学内容的拓展时，根据学科特点、学生的年龄特征、认知特点及知识经验进行了拓展，顾虑到所有学生的参与度，所以拓展的内容起点较低，对于一些能力较强的学生来说，发展不是太大。
2．对于苏教版教材的重组我们大多是整合了一些练习从而压缩了课时，在这方面还要进行相关的梳理，在不违背课程标准的基础上更科学合理重组。
3．课题具有很强的实践性和操作性，要求课题组成员能在平时的实践中，将在研究中所遇到的种种现象、想法等及时总结、提炼，并能上升至理论层面，在这方面，课题实验人员的素质还有待提高。
鉴于上述的分析，所以我们觉得在下阶段的实践研究过程中，我们将围绕以下几方面开展深入而细致的研究：
1. 加强理论学习，提炼研究成果，鼓励课题组成员总结提炼研究成果并撰写论文。
2.对于现有教学内容拓展上进行梳理，要根据学生的具体情况定向和定度，使之能更好的适应每一个学生的个性发展。
3.今后的研究中要进一步积累过程性资料，注重分析、反馈、总结提高，多撰写研究反思。
。
附表一：
博爱教育集团拓展课程（数学）学生调查问卷
同学们好：
学校每学期都会开展为期一周的数学拓展课程，为了提高拓展课程的实施效率，了解三四年级同学们的实际需求，我们制作了如下调查问卷。本问卷不记名，希望同学们如实写出你们的真实感受，谢谢配合！
1.你是否愿意学课本外与数学相关的知识?……(
)
A、很想
B、比较想
C、无所谓
D、不想
2.你比较喜欢哪一种拓展课程教学方式？……（
）
A.老师多讲多抄，学生主要听讲和记录
B.老师指点方法，学生先学后教，讲练结合
C.老师很少讲解，学生自由看书和练习
D.老师满堂提问，学生集体回答老师的问题
3. 对于一周的拓展课程学习，你对自己的学习成果如何评价？……（
）
A. 学到不少新知识，能运用所学知识解决问题或将知识传授给其他人。
B. 学到了不少新知识，但学过了以后感觉没有用武之地。
C. 学到了一点新知识，但已经记不太清了。
D. 没有学到太多的新知识，感觉自己没怎么学会或不感兴趣。
4. 你希望今后自己能够学习什么类型的拓展课程？……（
）
A. 动手操作类（如魔方、多米诺骨牌等）
B. 数字游戏类（如数独、聪明格等）
C. 智力提高类（如智力大冲浪等）
D. 社会实践类
5. 你对数学拓展课程有哪些期望？如果让你选择，你对哪些数学知识感兴趣，想在拓展课程中学习？
附表二
博爱教育集团拓展课程（数学）开发与实施情况
教师调查问卷
老师们：
为了更好地了解我校中年段拓展课程设计与实施情况，以便改进课程设计和课堂教学，提高拓展课程价值与课堂效率。我们想通过本问卷了解你们对拓展课程开发与设计、课程理念以及课堂教学的一些看法和做法。谢谢配合！
1. 实施拓展课程开发，您是否做了充分的准备？(
)
A.准备充分
B.准备一般
C.没有准备
2. 您愿意采取哪种方式开发数学拓展课程？（多选）（
）
A. 教师自主开发
B. 学校指定人员开发
C. 教研组集体开发
D. 备课组集体开发
3. 您认为拓展课程开发最好请专家学者来做方案、编教材，教师去执行？（
）
A.同意
B.不同意
4. 您认为拓展课程开发应该主要考虑以下哪一因素？（
）
A.学生的实际需求
B.学校的资源条件
C.学校的办学目标
D.教师的自身综合素养
5. 您在拓展课程的选材和设计上，会选择哪种方法？（
）
A.按学生兴趣选材
B.按自己的想法选材
C. 按知识点的逻辑顺序选材
6. 您认为教师需要参加实施拓展课程方面的培训吗？（
）
A.非常需要
B.需要
C.一般
D.不需要
7. 您拓展课程备课的资源主要来源于（
）。
A. 集体备课
B. 自主上网查阅资料，参阅相关教参
C. 直接用别人备好的相关资料
8. 您认为拓展课程安排多少课时才更有利于学生的发展？（
）
A. 5课时
B.6-8课时
C.9-10课时
D.更多
附表三
附表四
