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快速判定中学几何及计算题的条件

2021-07-06 11:22阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/6596260018

快速判定中学几何及计算题的条件


说明： 1、这是我十多年前辅导一些中学生及我的孩子的过程中，发现影响学生解题速度极其关键重要的首要的环节中，没有判断习题条件的标准。于是我就思考了此方面的问题，并且写了此文章。
2、此文章内容的理论根源来源于我在思考物理学中的概念问题过程中，对逻辑学里的一类概念的深入思考后的细化原创。
3、对此文内容了解后，在应用时候，只要看到一道习题，即可直接对其条件关键词加注即可，就算完成了此文内容的任务。所以，才有快速解题的功效。
4、关键是选对习题中的“必用条件”，在解题过程中，随时回看必用条件用 了几个，漏掉其中的一个必用条件，该题目就解不出来。这就有了提高解题速度的功效。、
5、有必用条件与非必用条件之分。必用条件往往是习题中的图形或图形关系中的“特殊性”来决定的。比如:等腰梯形的“等腰”就是这个 四边形的特殊性，而其梯形内角和是360度，则是该图形的一般性，不算必用条件，虽然解题过程中可能会用到此性质；再比如，两条直线关系中，平行或垂直或给出具体的相交度数，就是其特殊性，就是必用条件，而其单纯的相交就不算必用条件，虽然也可能用其对角相等性质。等等。
6、提醒一下：本文内容属于知识原创，具有知识产权性质，其他人不得用于商业化。

判定中学几何习题条件的原则与标准

马英卓

提要：目前还没有一个明确与统一的判定中学几何习题条件的原则与标准，这恰恰是普遍影响学生解题速度的首要及重要的因素。本文以逻辑学上的一类概念的分类角度，再从此类概念的数学的“字词”角度来讲解直接判定中学几何习题条件的类型及个数的问题，（这也是判定的原则与标准）这是本文作者在这个问题上长期地研究与探讨的结果。

一、逻辑学
中的一类概念
逻辑学中有一类概念，分为本体（实体）概念、关系概念与本质（属性）概念。但是，实际上还有中间状态的概念——关系本体概念、本质本体概念与本质关系概念。如果不把这三种中间状态的概念从这类概念中剥离出来，我们的思维及思维的表达是不清楚的。例子：

 日常概念
 数学（几何）概念
 物理概念
本体
 桌子、国家、张三等
 点、线、面等
 物体、原子、地球等
关系
 师生、买卖、离开等
 相交、全等、相切等
 力、作用、碰撞等
本质
 好、强、善良等
 曲、直等
 惯性、弹性、磁性等
关系本体
 父亲、首长、老师等
 直径、切线、内切圆等
 行星、被作用物等
本质本体
 强国、坏人、小车等
 直线、曲线等
 弹性板、磁铁等
本质关系
 慢行、轻视、主治等
惯性力、弹性力等
表1
中学几何中的此类概念的例子：
几何
 量

图形（本体）
 关系本体
 关系
 量
 量的关系
一般性
 平面几何
 直线、线段、点
 交线
 相交
 AB = 3
 AB = 2AC
三角形、四边形等

5cm
 AB = CD︰EF
圆
 弦、割线
 相离
CD≥BC
立体几何
 三面体、四面体等
二面角

圆锥体
特殊性
 平面几何
 等腰三角形
 中点
 平行

直角三角形
 垂线
 垂直

正五边形
 平行线
 外切

平行四边形
 直径
 相切

梯形、直角梯形等
 切线
 内接

矩形
 内切圆
 内切

立体几何
 正三面体



立方体
 内接立方体
 平面的互相垂直与平行

正圆柱体
 切平面
正圆锥体
 内切球


表2

 表2的说明：
初等数学就是关于图形（几何）与其关系、量与其量的关系、图形与量的关系的学问。于是，关于图形的词、量的词及其图形关系的词，就是其条件及条件类型。表2列出的这些“字词”，就代表了中学几何习题条件及其类型。

二、怎样判定习题条件及其类型

1. 习题条件有必用条件、或用条件与复选条件之分。
必用条件是解题时不可缺少的条件，缺之，此题不可解。
或用条件是在解习题时有时用到，有时又用不到的条件。
复选条件（许多个）是解习题时可能用其中的一个或几个条件。

2. 必用条件：
特殊性条件都是必用条件。
特殊性图形条件都是必用条件，如等边三角形、矩形、正三面体等。图形条件每增加一个特殊性就增加一个必用条件。
几何计算题中的已知条件中的具体的量、量的关系式以及关系式中的量都是必用条件。
特殊图形关系条件都是必用条件，如垂直、平行、内切等。如果习题条件中给出了具体的关于两条直线相交的特殊交角（如30o）的度数，实际上就包含了相交的特殊性以及量的条件，此条件也是必用条件；如果其交角不是特殊角，也给出了具体的数值，也是必用条件，因为此具体的数值还是量的条件。
总的来说，凡是具有确定图形及图形关系作用的条件，都应该是习题的必用条件。而特殊图形及特殊图形关系条件基本上都是起确定的作用的。之所以说几何习题中关于图形的具体的量以及量的关系也都是必用条件，也是因为具有确定图形及图形关系的作用。这是本文用“字词”角度来判定习题必用条件的依据。为什么说“直径”是必用条件，因为它是“确定”的。而单一的说“弦”或“割线”等关系本体图形，因为没有确定其位置，就不能认为是必用条件。但是，在习题的必用条件里的关系式条件、常量条件以及欲求的未知量里，涉及到了像“弦”、“割线”本体关系条件，就应该算是必用条件。不过，为了统一必用条件的规定，在习题的判定必用条件的条款里，还是不算在必用条件的范畴内，因为在已知条件里有了其补充的常量或量的关系式必用条件，在涉及这些常量或量的关系式的必用条件时，已经连带着把如此的关系本体条件包含在内了。另外，在分析过程中，之所以说平行四边形是特殊性图形，是因为其对边互相平行且相等就是特殊性，虽然其相邻边夹角不确定。
关系本体条件包含两个条件，一个是关系条件；另一个是本体条件。比如直径一词是指端点在圆上又过圆心（特殊关系条件）的线段（本体条件——图形条件）。
如果关系本体条件中的关系与本体都是一般性的条件，就是或用条件。比如：“交线”就是关系与本体都是一般性的条件，其相交是一般性的关系条件，直线是一般性的图形条件。但有时也会用到如对顶角相等的等性质；再比如：“延长线”也是关系本体条件中的关系与本体都是一般性的条件，不是必用条件。
如果关系本体条件中的关系与本体的条件中有一个具有特殊性也是必用条件，比如切线、直径、内接三角形等。或都有特殊性，那更是必用条件，而且有两个必用条件，比如内接梯形、外切立方体等本体关系词，都包含两个必用条件。

3. 复选条件：
已知条件中关于图形的字词就是习题条件，其性质是大前提。一个具体的图形可以有许多性质，在习题中如果有了与其性质相对应的图形，就都有可能成为习题的条件，也就是一些习题辅导书中说的“隐含条件”，具有复选性。比如：“正方形”是图形条件，其“四边相等及相临边互相垂直”性质是必用条件；而其“对角线互相垂直平分”这一性质，就有可能成为习题的条件，也就是复选条件。

4. 或用条件：
一般性“图形”条件及其关系条件，在判定时，作为或用条件。有时在解题时也要考虑它的一般性质，比如一般三角形的内角和为180 o，及任意两边之和大于第三边的一般性质，以及圆的圆心到圆上的任意点的距离都相等的性质，有时就可能用到，有时就用不到。通常在解题的过程中，把一般性图形转化为特殊性图形，再来解习题。比如：一般性质的三角形可以用辅助线变为两个直角三角形的图形。
请读者注意：后面所有的例题，凡是关于或用条件与复选条件的判定条款就不列举出来了。但在分析习题过程的同时，也要随带着考虑一下或用条件以及复选条件的问题。

四、判定习题条件的类型及个数的例题

例题1.
已知：AB是半圆O的直径，弦AC半径OD，切线BE交AD的延长线于E，DC的延长线与BA的延长线交于P，PC︰PA = 6︰5，AD = 4。求：DE的长。（这是典型的几何计算题）
条件的判定：
1. 必用条件：（1）直径AB；（2）半径OD；（3）；（4）切线BE；（5）PCPA = 65；（6）AD = 4。
2. 或用条件：弦AC、延长线、相交。半圆O是图形条件，圆是属于一般性图形条件，所以，不算必用条件。但是，有时在解题时也要考虑它的一般性质。“弦”是关系本体概念，应该是必用条件，但是由于在已知条件里，没有规定其确定的位置，或在已知条件里的关系式中及常量中没有之，所以不能算作是必用条件。

例题2.
已知：边长为16(1) 的等边ABC(2) 中，一圆切(3), (4) AB和AC分别D、E两点，且BD = 10(5) ，点P是BC上的任意一点，它可以与C点重合，但不与B点重合，DP交圆于Q，DP = x，EQ = y。求y关于自变量x的函数关系式。（本习题是第三章的例题8）
*说明：必用条件有5个。直接在已知条件中标出，见习题。“切”这一字包含两个必用条件，因为有两个切点。
以后读者在分析习题时可以在习题条件上直接如此标出。

例题3.
已知：在RtABC(1) 中，∠ACB = 90o ，AC = 20(2) ，BC = 15(3) ，ABD是等腰(4)直角(5) 三角形，求：CD的长。
*说明：必用条件有5个。(4)(5)是ABD的两个特殊性，所以，ABD这一图形条件包含两个必用条件。∠ACB = 90o条款是说明RtABC的，不算是独立的条件。

例题4.
已知：在ABC中，D是BC的中点(1) ，AEEC = 21(2) ，AD、BE交于F。
求：BFEF；AFAD。
*说明：一共有两个必用条件。中点是特殊的图形条件，是关系本体条件。ABC是图形条件，因为是一般三角形，是或用条件。

例题5.
已知：O为ABC的外接圆(1) ，∠A的平分线(2) 交O于D，过D作O的切线(3) ，交AB、AC的延长线于E、F两点。求证：AC·EF = AF·BC。
*说明：一共有三个必用条件。平分线是有一个“平分”特殊关系性质的直线。

例题6.
已知：梯形ABCD (1) 中，ABCD (2)，AE是梯形的高 (3) ，且AE = 2 (4) ， AC平分 (5) ∠BCD，AC⊥AD (6) ，AD = 3 (7) 。求：梯形ABCD的面积。

例题7.
已知：ABC内接 (1) 于圆，AE平分 (2)∠BAC的外角，交BC的延长线于E，交圆于F，且AB = 8 (3) ，AC = 5 (4) ，EF = 14 (5)。求：AE、AF的长。

例题8.
已知：AB为o的直径 (1) ，MH⊥AB (2) ，交AB的延长线于H，且BH = 快速判定中学几何及计算题的条件AB (3) ，连接MA交o于C，连接BC、BM，若o的半径为1(4) ， SBCM = 快速判定中学几何及计算题的条件SABM (5) 。求：BM的长。
*说明：“o的半径为1”这句话，虽然包含半径这一关系本体图形和常量1这两个条件，但是其半径没有在已知图形中确定，仅表示一个“量”，所以此条件仅有量的必用条件涵义，只能算作一个必用条件。

三、几何量的双重意义

随带说一个问题。在分析中学几何计算题的过程中，其中的“几何量及几何量的关系式”，顾名思义，有双重意义，就是几何意义与量的意义，如必用条件AB = 2：一是AB代表了线段（几何意义）；二是其中的“2”则代表了常量（量的意义）。值得读者十分注意的是：在分析几何计算题的过程中，几何“量”及几何“量的关系式”要与几何图形互动思考。而有相当部分的学生在分析习题的过程中，把此问题完全割裂开来，或单一地从几何因素联系到“量”，这也是严重影响解题速度的一个因素。正确的分析思维就是还要通过几何“量”及几何“量的关系式”为线索，来找到与其相关的另一个推理步骤的图形及图形关系。

四、在推导过程中出现的新条件问题

中学数学的解题过程基本上是“三段论”逻辑推理的过程。已知条件是小前提，相应的公理、性质、定理、推论及公式是大前提。完成一个三段论的推理过程，就是解题过程的一个步骤。主要步骤就是判定步骤分数的标准。
在习题推导的过程中，利用了已知的条件推导出来的结论，就可能是下一个推理步骤的条件（小前提），如果利用了此新的条件在真正地获得了确定的习题所需要的结果的情况下，也可以是必用条件。但是，这样的新条件性质不要与已知的条件混淆在一起，因为此新的必用条件之所以说是必用条件，也是在此新的必用条件的参与下，及在真正最后完成了习题的结果的情况下才可以说是必用条件。比如：在习题推导的过程中，一个原来是已知条件里没有确定其具体数值的线段被推导出其有具体数值（常量）的线段，那么该线段就是新的条件了，如果利用了该新的常量推导出来了最后的确定的结果，那也就是习题的必用条件了。而在分析的过程中推导出来的新的条件，在无法确定其新的条件能否继续推导出习题的结果的情况下，也无法确定其新的条件是否是必用条件。所以，把推导过程中新出现的条件可以叫做过程条件，以区别于已知条件。

五、全面思维原则

人都有一个注意力锁定的心理特性，此心理特性在学生解题时也有它的反映，也就是说，当他利用某一个或某几个必用条件时，以及注意到某一个图形、某几个图形及其图形关系的时候，往往就锁定在该方面思考，不容易跳出来重新再思考还没有用到的必用条件，以及另外的图形及图形关系。把随时不断地摆脱注意力锁定因素的思维方式叫做“全面思维”原则。所谓头脑灵活的学生，就有随时不被注意力锁定的心理所束缚的因素。而某些解题速度比较慢的学生，在影响解题速度的因素中，就有一个被注意力锁定的心理所束缚的因素。
本文关于习题条件的类型及个数的判定原则与标准，就给了学生，特别是给了解题速度比较慢的学生，使他们在分析习题时，有一个可供选择的原则标准和准确的范围。而在没有本文之前，由于没有判定习题条件的类型及个数的标准，可以说，即使学生能够摆脱注意力锁定因素，也是在盲目地漫无边际地思考。本文的此判定原则与标准，也同时具有可操作性强的快速判定习题条件的类型及个数的方法的意义。有的人可能认为本文所谓的“全面思维”就是“发散思维”，实际上是有区别的，“发散”就有一个“漫无边际”的含义。而“全面思维”的“发散”是有一定范围的，是有标准的，也就是，习题的必用条件的“发散”被限制在有数的范围内。实际上，作为一道给出的习题，就是一个封闭的“系统”，所以，其必用条件、图形以及推理的步骤的数量是有限的，于是，也就决定了其思维的“发散”是有限度的。而在科学研究、考古及司法案件领域，由于其条件的不确定性，即有其小前提条件的再发现性，其逻辑思维才有了问题的“开放性”，其思维才是真正的“发散”。
对于一道比较复杂的习题来说，则是由若干个推理步骤来完成的，所以，在完成了第一个推理步骤后，就有一个选择性的第二个推理步骤问题。而第二个推理步骤就有可能运用第一个推理结果为其小前提（过程条件）的问题。但是，此新的过程条件还会与没有用到的必用条件结合在一起，成为下一个推理步骤的小前提。一般的说来，只要是把习题中的必用条件都用完了，同时也与欲求的结果对应上了，该习题的逻辑推理才算是结束了。也就是说，检验习题是否是该结束了，其最起码的前提就是习题的必用条件是否是都用上了。当然，必用条件在习题所有的步骤中有重复运用的情况，也是正常的。在分析习题的过程中，随时检查还没有用到的必用条件，也就是全面思维原则的体现，这是至关重要的。本文已经初步地建立了判定习题必用条件类型及个数的原则标准。对于无论是解题速度快的学生还是解题速度慢的学生，都可以非常容易地接受此原则标准，都可以快速地判定出习题的必用条件，于是，就都有了快速解几何习题的共同起点。而以后解题速度慢的学生，在分析习题的过程中，其中可能就有影响解题速度的两个因素：其一就是仅根据一两个条件就直接推导，而往往忘掉了其它还没有用到的条件（没有用好全面思维方式）；其二就是根本没有判定出 “所有” （穷举出）的必用条件。
此文最后说明：如果有问题可以加我微信：13844046358
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下面的【一招解千题】文章是我在2002年发表在长春市教育局主办的教育杂志上的文章，其标题是该杂志主编写的，哪有一招解千题的事。

一招解千题

——中学几何快速计算规律解读

马英卓


 本文作者在以往的教学实践中，常常在想：解中学几何计算题，可以有什么类型题等各种解法，在许多关于习题解的书中，也是罗列许多例题来讲解解法。是不是还有统一的解题思维规律没有被进一步地发掘出来，从而能达到“一招解千题”的效果？于是，本文作者作为一个课题进行了长期的研究。本文内容就是对统一规律的初步研究结果的大概论述。正是因为有了对解题思维规律的进一步的认识，才会使学生具有最大限度地快速地解出几何习题的效果。
本文主要对准确地判定出习题的已知条件的类型及其个数，又怎样快速地找到几何计算题所需要的数学关系式及各个关系式之间的内在联系这两个方面作一下大概的论述。

一、已知条件问题

（一）判定已知条件的原则与标准
首先，作为初等数学的中学几何，主要是关于图形性质及其相互关系、图形与量的相互关系的学问。中学数学的解题过程基本上是“三段论”逻辑推理的过程。已知条件是小前提，相应的性质、公理、定理、推论及公式是大前提。几何的大前提“分别”都是涉及图形及其性质、图形关系、图形的量的关系（公式）的。所以，其小前提（已知条件）的类型也与此对应。这就是判定已知条件类型的原则与标准的依据之一。
其次，总的来说，凡是具有确定图形及图形关系作用的已知条件，都应该是习题的条件。已知条件里的特殊图形及特殊图形关系条件基本上都是起确定作用的；习题的已知条件中关于图形的具体的量以及量的关系式也是起确定图形及图形关系作用的，这也是判定已知条件的原则与标准的依据之一。
而在已知条件里都有关于图形及其图形关系、图形的量及其量的关系式的“字词”或数学关系式，所以，以“字词”角度就可以直接找到习题中的已知条件类型及个数，也同时达到了准确判定的目的。直接用“字词”来判定已知条件方法，这对于各个学习成绩的层次的学生来说，都是很容易接受的。于是，就有了快速判定已知条件的效果。

（二）与逻辑学上的一类概念有关
逻辑学中有一类概念，分为本体（实体）概念、关系概念与本质（属性）概念。但是，实际上还有中间状态的概念——关系本体概念、本质本体概念与本质关系概念。如果不把这三种中间状态的概念从这类概念中剥离出来，我们的思维及思维的表达是不清楚的。
日常生活中此类概念的例子：本体概念有桌子、国家、张三等；关系概念有师生、买卖、离开等；本质概念有好、弱、善良等；关系本体概念有父亲、首长、学生等；本质本体概念有强国、坏人等；本质关系概念有轻视、慢行等。
在中学几何中的此类概念的例子：本体概念有点、线、面、圆等；关系概念有相交、全等、相切等；本质概念有曲、直等；关系本体概念有直径、切线、内切圆等；本质本体概念有直线、曲线等。在中学几何的已知条件里关于图形的本体概念、关系概念、关系本体概念所体现的“字词”就是已知条件及其类型。而其中关于特殊图形、特殊关系、特殊关系本体的“字词”都是已知条件，如直角三角形、切、平行、直径、外接四边形等。
本体概念中的图形的性质就是习题中的已知图形条件中的隐含的小前提。特殊关系本体条件包含两个条件，如直角梯形条件就包含直角关系条件与梯形图形条件，而其中的梯形的性质就是小前提。

（三）快速判定条件的例题
例题1：已知：边长为16(1) 的等边ABC(2) 中，一圆切(3), (4) AB和AC分别D、E两点，且BD = 10(5) ，点P是BC上的任意一点，它可以与C点重合，但不与B点重合，DP交圆于Q，DP = x，EQ = y。求y关于自变量x的函数关系式。（本习题是第三章的例题8）
*说明：必用条件有5个。直接在已知条件中标出，见习题。“切”这一字包含两个必用条件，因为有两个切点。
例题2： 已知：在RtABC(1) 中，∠ACB = 90o ，AC = 20(2) ，BC = 15(3) ，ABD是等腰(4)直角(5) 三角形，求：CD的长。
*说明：必用条件有5个。(4)(5)是ABD的两个特殊性，所以，ABD这一图形条件包含两个必用条件。∠ACB = 90o条款是说明RtABC的，不算是独立的条件。
例题3： 已知：在ABC中，D是BC的中点(1) ，AEEC = 21(2) ，AD、BE交于F。
求：BFEF；AFAD。
*说明：一共有两个必用条件。中点是特殊的图形条件，是关系本体条件。

（四）过程条件问题
在习题推导的过程中，利用了已知的条件推导出来的结论，再与其它的已知条件结合，就可能是下一个推理步骤的条件（小前提），如果利用了此新的条件在真正地获得了确定的习题所需要的结果的情况下，也可以是必用条件。但是，这样的新条件性质不要与已知的条件混淆在一起，因为此新的必用条件之所以说是必用条件，也是在此新的必用条件的参与下，及在真正最后完成了习题的结果的情况下才可以说是必用条件。比如：在习题推导的过程中，一个原来是已知条件里没有确定其具体数值的线段被推导出其有具体数值（常量）的线段，那么该线段就是新的条件了，如果利用了该新的常量推导出来了最后的确定的结果，那也就是习题的必用条件了。而在分析的过程中推导出来的新的条件，在无法确定其新的条件能否继续推导出习题的结果的情况下，也无法确定其新的条件是否是必用条件。所以，把推导过程中新出现的条件可以叫做过程条件，以区别于已知条件。

（五）全面思维原则
人都有一个注意力锁定的心理特性，此心理特性在学生解题时也有它的反映，也就是说，当他利用某一个或某几个必用条件时，以及注意到某一个图形、某几个图形及其图形关系的时候，往往就锁定在该方面思考，不容易跳出来重新再思考还没有用到的必用条件，以及另外的图形及图形关系。把随时不断地摆脱注意力锁定因素的思维方式叫做“全面思维”原则。所谓头脑灵活的学生，就有随时不被注意力锁定的心理所束缚的因素。而某些解题速度比较慢的学生，在影响解题速度的因素中，就有一个被注意力锁定的心理所束缚的因素。
本文关于习题条件的类型及个数的判定原则与标准，就给了学生，特别是给了解题速度比较慢的学生，使他们在分析习题时，有一个可供选择的原则标准和准确的范围。而在没有本文之前，由于没有判定习题条件的类型及个数的标准，可以说，即使学生能够摆脱注意力锁定因素，也是在盲目地漫无边际地思考。本文的此判定原则与标准，也同时具有可操作性强的快速判定习题条件的类型及个数的方法的意义。有的人可能认为本文所谓的“全面思维”就是“发散思维”，实际上是有区别的，“发散”就有一个“漫无边际”的含义。而“全面思维”的“发散”是有一定范围的，是有标准的，也就是，习题的必用条件的“发散”被限制在有数的范围内。实际上，作为一道给出的习题，就是一个封闭的“系统”，所以，其必用条件、图形以及推理的步骤的数量是有限的，于是，也就决定了其思维的“发散”是有限度的。而在科学研究、考古及司法案件领域，由于其条件的不确定性，即有其小前提条件的再发现性，其逻辑思维才有了问题的“开放性”，其思维才是真正的“发散”。
对于一道比较复杂的习题来说，则是由若干个推理步骤来完成的，所以，在完成了第一个推理步骤后，就有一个选择性的第二个推理步骤问题。而第二个推理步骤就有可能运用第一个推理结果为其小前提（过程条件）的问题。但是，此新的过程条件还会与没有用到的必用条件结合在一起，成为下一个推理步骤的小前提。一般的说来，只要是把习题中的必用条件都用完了，同时也与欲求的结果对应上了，该习题的逻辑推理才算是结束了。也就是说，检验习题是否是该结束了，其最起码的前提就是习题的必用条件是否是都用上了。当然，必用条件在习题所有的步骤中有重复运用的情况，也是正常的。在分析习题的过程中，随时检查还没有用到的必用条件，也就是全面思维原则的体现，这是至关重要的。本文已经初步地建立了判定习题必用条件类型及个数的原则标准。对于无论是解题速度快的学生还是解题速度慢的学生，都可以非常容易地接受此原则标准，都可以快速地判定出习题的必用条件，于是，就都有了快速解几何习题的共同起点。而以后解题速度慢的学生，在分析习题的过程中，其中可能就有影响解题速度的两个因素：其一就是仅根据一两个条件就直接推导，而往往忘掉了其它还没有用到的条件（没有用好全面思维方式）；其二就是根本没有判定出 “所有” （穷举出）的必用条件。

二、要有图形总数意识

在判定习题条件的任务完成之后，就要进行线段和图形的分解与整合的分析。线段的分解与整合是几何计算题的量的关系式；图形的分解与整合是为了找出图形、图形关系及图形关系的量的关系式的一个重要的前提。（在没有特指的情况下，说“图形条件”有时也包含“线段”及“点”的涵义）此图形的分解与整合的问题似乎不是个问题，是非常容易解决的问题，然而，恰恰是忽视了这个问题，由于不明确习题中有几个基本图形及多少个整合图形，学生的分析习题的思维过程都有一定的盲目性，从而，也就成为了影响解题速度因素中的一个方面。也就是说，要养成一个在判定习题条件的程序之后，再思考线段和图形的分解与整合问题及穷举其基本图形和整合图形的数量的思维习惯。所谓图形的分解与整合，就是首先判断出基本图形及个数，再判定出由基本图形所整合的图形及个数。
线段的分解与整合：如：AC线段是由AB与BC这两条基本线段所组成的，那么就有AC = AB + BC这个关系式。AC是整合线段。整合线段的关系式是在解几何计算题的过程中经常要用到的。
图形的分解与整合：如：四边形ABCD有两条对角线AC与BD，交点是O。于是，就有四个基本图形：AOB、AOD、BOC、COD。但还有由此四个基本图形中的每相邻两个基本三角形而整合的ABC、ADC、BAD、BCD，再加上四边形ABCD，共九个图形。而每三个相邻的基本图形所整合的五边形是“不规则”图形，解题时一般不用。

三、几何计算题的问题

（一）分析几何计算题的三个环节
从图形与量的分类角度，几何习题有两大类型，一是纯几何关系方面的习题，就是利用已知的几何图形的性质及几何图形关系，再推导（证明）出来欲求的图形或图形关系。比如：证明几何图形的全等、相似、垂直、平行等图形关系；二是几何计算题，就是利用已知的图形的性质、图形关系以及图形的量或其量的关系，再推导（或证明）出来欲求的图形的量或量的关系。当然，几何计算题也包含了几何图形及图形关系方面的内容。
分析几何计算题的过程实际上有三个环节：
1) 找出于习题有关的图形及图形关系；
2) 找出多个分别独立的于单一的图形性质及图形关系直接对应的方程；
3) 把已经找到的多个独立的方程逻辑地联系起来，也就是建立习题所需要的基本关系式组。
在几何计算题分析过程的第二个环节中，就包含了把图形及图形关系过渡到量的关系式的大前提。在初中平面几何中，不外乎是勾股定理关系式、相似三角形的对应边成比例的关系式及平行线间的线段成比例的关系式等大前提。对此环节，在许多教师和学生那里，已经有了明确的认识。如果有的学生还没有认识到，就应该引起重视。因为，有了如此明确的认识，就可以有针对性地集中地以图形关系相对应的关系式大前提而得出的结果作为线索，来思考相关的其他的图形及图形关系，并且有时可以有的放矢的作辅助线。

（二）几何量的双重意义
随带说一个问题。在分析中学几何计算题的过程中，其中的“几何量及几何量的关系式”，顾名思义，有双重意义，就是几何意义与量的意义，如必用条件AB = 2：一是AB代表了线段（几何意义）；二是其中的“2”则代表了常量（量的意义）。值得读者十分注意的是：在分析几何计算题的过程中，几何“量”及几何“量的关系式”要与几何图形互动思考。而有相当部分的学生在分析习题的过程中，把此问题完全割裂开来，或单一地从几何因素联系到“量”，这也是严重影响解题速度的一个因素。正确的分析思维就是还要通过几何“量”及几何“量的关系式”为线索，来找到与其相关的另一个推理步骤的图形及图形关系。

（三）几何计算题的基本关系式组
在没有正式解几何计算题之前，要弄清该习题在所有的计算步骤中，哪些是由大前提直接得到的关系式，（也就是基本关系式）并且还要弄清一共有几个基本关系式（也就是基本关系式组），这是至关重要的。而目前的教学几乎没有此意识。也可以说其基本关系式组就是广义的方程组。因为几何计算题最后的结果就是在其基本关系式组中的关系式中推导来的。这是加快解题速度的很重要的环节。在下面的例题步骤中的粗体关系式就是基本关系式，这是在正式解题之前要明确知道的。
已知：如图3—2。在ABC中，∠C = 90 o ，D是BC边上的一点，DE⊥AB 于E ，∠ADC = 45 o ， 快速判定中学几何及计算题的条件 快速判定中学几何及计算题的条件 快速判定中学几何及计算题的条件DE AE = 1 5 ，BE = 3 ，求：ABD的面积。
解： 设DE = k 。
1) 已知关系式DE AE = 1 5，得AE = 5 k。
2) RtAED ，有AD 2 = AE 2 + DE 2 ，得AD = k 。
3) 在RtACD中，∠ADC = 45 o ，∴ AC = CD 。有AD 2 = AC 2 + CD 2 ，
即AD = AC ，就是AC = 快速判定中学几何及计算题的条件k 。
4) RtBED ，有BD 2 = DE 2 + BE 2 ，BE = 3 ，∴BD = 快速判定中学几何及计算题的条件。
5) 由于RtDEBRtACB ，有AC DE = AB BD ，又AB = AE + BE ， 得 快速判定中学几何及计算题的条件k k = 快速判定中学几何及计算题的条件。（ 5 k + 3 ），解之得k = 2 。
∴S ADB = AB·DE = ×13×2 = 13。

（四）怎样找到基本关系式组
如果是一道单纯的几何图形证明题，对于学生来说，比几何计算题要好作得多。因为图形比较直观。但是一道几何计算题不仅有图形及图形关系的直观分析方面，还有数学关系式的计算方面，而找到基本关系式组的内在的计算关系就不直观了。这是对于学生来说是比较困难的环节。在此，本文作者就用了方程组中的方程的内在关系的角度，进一步地解决了此环节。
都知道，一组方程组中有几个方程就有几个未知量，而且其未知量基本上是成对出现的。这就是方程组内的方程之间的逻辑关系。利用此道理也可以逐步地来找出习题所需要的基本关系式组。此方法还包含两个方面的意义：
1.寻找意义：就是当已知的基本关系式及已经推导出来的基本关系式中的参量（也包括习题欲求的未知量）的个数超过基本关系式的数量的时候，那么就会给我们一个信息，还得去寻找基本关系式，而基本关系式中的还没有成对的参量，就是寻找下一个的线索，也就是寻找包含还没有成对参量的另一个基本关系式。在几何计算题里，利用该参量所代表的线段及所在的图形，又给我们提供了寻找有关的图形及图形关系的线索，进而又可以找到该图形及图形关系的基本关系式，也就是连带的基本关系式，此连带的基本关系式就是习题需要的基本关系式组中的，是具有逻辑关系性质的基本关系式。此寻找的意义可以形象地比喻成“顺藤摸瓜”方法。此方法的好处是在推导出了最后的方程的时候，也就把推导出来的所有的方程的逻辑关系也直接获得了。而在没有此方法的意识之下的学生，都是在盲目地分析，当然就严重地影响了解题的速度。值得读者注意的是：此“顺藤摸瓜”的方法是解几何计算题特有的方法；在分析习题的过程中，此方法必须同时与前面讲的“全面思维”结合起来运用。此顺藤摸瓜的方法，一般的来说，在解比较复杂的几何计算题方面有特别的功效。当然了，对解比较简单的习题就更不用说了。
2.检验意义：在找到的若干个基本关系式中，如果其参量的个数与关系式的个数相等了，又在该若干个关系式中，其参量已经都起码成对了，同时该若干个基本关系式又都是已经用上了习题的必用条件，那么，一般的来说，该若干个关系式所组成的基本关系式组，就是该习题所需要的基本关系式组。接着，习题就转化为纯计算的阶段了。

四、结尾

本文的内容实际上仅叙述了中学几何习题条件的判定原则与标准及几何计算题的计算的一些分立的规律。本文作者在对解题的逻辑思维过程（解题的思维结构及分析程序）有了进一步的研究后，发现还有怎样把这些分立的规律合理地结合起来，变成一个有条理的合理的思维程序。于是，本文作者就有了把解题的思维规律结合为一个统一的思维程序的研究结果以及又可以容易操作的方法上的发明。所以，在一定的程度上，也就有了“一招解千题”以及快速解题的效果。几年前的一个学生寒假期间，我进行了此成果的实验，就有了很可观的效果。期间我对长春市第七中学初中毕业班的一位成绩中上等的男生讲解后，开学后，经过了一段时间，其解题的速度之快，被他的老师与同学称之为有“特异功能”；同时对长春市第九十中学的初中毕业班的一位中下等成绩的女生王某讲解后的几个月，其数学统考的成绩就达到了中上等。由于杂志篇幅所限，此方面的内容没有写进本文里。读者可以向本文作者索取该方面的资料。
（完稿于2002年7月4日）

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