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5.2.3
声波的多普勒效应于1842年由奥地利物理学家多普勒（Doppler,1803~1853）首次提出。1905年，经爱因斯坦改造后应用于光波。今天，无论是声波还是光波的多普勒效应，都得到了广泛的应用。然而，被广泛使用的多普勒效应普遍公式实际上是一个近似公式，它只在波长与观察距离相比足够小的条件下才能成立。事实上，爱因斯坦在光波多普勒公式的推导过程中就作出了光源在无限远处的假定。虽然这个条件在一般使用场合都能得到满足（特别是利用可见光进行天文观察时），但当波源与观察者的距离与波长相比并不很大时，这一公式将产生显著的理论误差。为此，有必要推导一般情形下多普勒效应的精确计算公式，以便精确处理近距观察的实验结果。同时，通过精确公式的推导，还可以进一步明确光波的参照系有何特殊之处，从而进一步夯实种子参照系的理论依据。5.2.3.1
其中j为观察者O的速度方向与SO的夹角。
其中q为波源S的速度方向与SO的夹角。
设观察者从O点开始，历时T'后与球心在S'处的等相位波前球面相遇于O'。则T'的倒数就是观察者O当前的感知频率f'。为计算T'，将O'的坐标[(lo+uoT')cosa，(lo+uoT')sina，h]代入球心在S'的球面方程得：
整理，得：
其中：
从而：
这就是介质参照系S中一般情形下的多普勒效应精确公式。
为了便于逐点计算波源与观察者相对运动的过程中观察频率的变化情况，可以采用以下递推公式：
对于最常用的情况，即观察者的速度矢量与波源速度矢量共线时，不妨将坐标原点取在观察者当前所在等相位球面的球心S点，即光源的推迟位置，x轴正向指向观察者的当前位置O，并将x方向取作速度的正方向，则(5.49)式相当于：
从而有：
这就是特殊情形下的多普勒效应公式，这是一个精确公式。
5.2.3.2
将(5.49)式展开，得：两边先约去R2再同除以R2，有：