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璐绥基地函数专题讲座·第四讲：反比例函数和对勾函数

2006-07-29 23:07阅读：

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璐绥基地函数专题讲座
第四讲：反比例函数和对勾函数

　　这一讲我们来研究反比例函数。说道这个反比例函数，通常是指一次反比例，也就是x的次数是一次的，它的解析式为f(x)=k/x (k≠0)。自古到今，有关分母的问题就比较令人头疼，在研究反比例函数之前，我觉得有必要先说说我对分母不能为零的一些看法。
　　分母不能为零，实际上是除数不能为零。我先假设分母可以为零，且a/0=b，利用乘除互逆的性质，得到b×0=a。由于任何数与零相乘都为零，即a=0，然而a是设的量，我并没有规定它就是0，这就出现了变量成为常量的现象，怎么解释这一现象呢？无法解释，所以科学界就规定了0不能作分母。
　　反比例函数的图像你找出来看一看，就会发现f(x)在x=0处无定义，那函数是如何在x=0附近分布的呢？教科书上说是逐渐接近但无法到达，这就是一个极限的概念。其实导数也是建立在极限的基础上的，这一节暂且不提。单说这个极限在图像上的表示，我们称它为渐近线，反比例函数的渐近线就是x=0和y=0了。从图像上也可以看出它是对称图形，关于原点中心对称（奇函数）也关于y=-x对称。对称，又有两条渐近线的这种函数的图像，我们称它为双曲线，这个名字还是很形象的。
　　反比例函数的区间单调性是一目了然的，自然不必多废话。不过你有没有想过，反比例函数也可以在坐标轴上移动呢？其实任何函数图像都可以在坐标轴内任意平移、旋转而不用担心找不到解析式。旋转问题比较复杂，中学范围也不会出这么难的题目，然而函数
的平移却十分重要。
　　为了方便表示平移后的函数，我将解析式重设为f(x)=[k/(x+a)]+b，这样一来，原来x可取的值，都得加上a再被k除。于是a就控制了函数图像的左右移动，而且，你亲自尝试一下就会发现，这个规律还是“加左减右”，与二次函数图像的平移一样。同理，你求出来的那个值再加上一个b，不是又做到了上下移动了？由此我得出一个结论：左右平移是在x上做手脚，而上下平移是在f(x)上下文章。其实，平面向量里就有一个函数平移的公式：x'=x+h ; y'=y+k。其中x，y是原函数的量，加'的是平移后函数的量。这个平移的过程也可用一个量来表示，就是(h,k)，这种量叫做向量，既有大小（移多少）又有方向（怎么移）。形象地说，从原点出发的一个箭头，可以向四面八方随意延伸，停在哪里，哪里的坐标值就表示这一运动过程的向量，而且是唯一表示的。
　　若要用原函数表示平移后的函数，步骤是这样的：假设y=f(x)=b/x沿(h,k)平移，由平移公式得x=x'-h ; y=y'-k，将x，y代入原式，得y'-k=b/(x'-h)。看看吧，除了字母表示不同，和先前的结论是一致的！
　　反比例函数就先讲到这里，我顺便再提一下正比例函数。自变量x在分母上为反比例，在分子上就是正比例了，正比例函数图像就是过原点的一条直线，解析式为f(x)=kx，一次函数截距为零的时候。呵呵，不过要记住，两种函数可都是奇函数哦（平移后的不算）。
　　对勾函数也是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0<x≤k}。由单调区间可见，它的变化趋势是：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
　　对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，(a-b)2≥0，展开就是a2-2ab+b2≥0，有a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到(a+b)2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab)。现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)＝2sqrt(ab)，这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，对应的f(x)=2sqrt(ab)。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。
　　其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x-1，4/x2=4x-2。明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx-1，求导方法一样，求的的导函数为a+(-b)x-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a)，如果需要的话算出f(x)就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。
　　上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
　　对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。双曲线和抛物线都是解析几何的一部分，因为它们的标准方程实际上不是函数，所以我也没必要在这里费口舌，以后有机会尝试着写一下解析几何的讲座，那时再仔细讲解双曲线的有关知识。好了，这一讲就先到这里，下一讲我将开始指数函数的探索，我们下一讲再见。

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