致我亲爱的大女儿amy
亲爱的女儿，你好！生日快乐！
在你生日之际，老爸想了很久很久。这几年，我的女儿越来越成熟了，你选择了应用数学作为你的博士专业，这是一个及富有挑战性的方向，也是一个及其充满无限乐趣的方向。
既然是数学，老爸就从数学的角度和你聊一下数学对于认知世界的点点滴滴，这有助于你的人生和面对很对不确定性时的思考。
数学让人理性，但理性存在边界。
关于人类承认理性存在边界是在数学里哥德尔首先提出。哥德尔是世界著名数学家，哥德尔不完全性（也有说不完备性）定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。
哥德尔的不完备性定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。
哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。被称为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”，最有震撼力的是哥德尔不备全性定理 。
哥德尔不完全性定理告诉人们，人类寻求知识的努力永远都不会到达终点，我们始终都有获得新知识的挑战，人类社会总有“事与愿违”的事情需要我们去克服，没有这种挑战，人类就会停滞。
哥德尔第一不完备性定理证明，任何一个复杂的系统里一定存在既无法证明也推翻不了但又确实存在的东西。
哥德尔第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
哥德尔第二不完备性定理进一步说明，这样的系统没有办法在自身内部证明自己的一致性。
哥德尔第二定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
这两个定理，不在于数学难度，而在于用不可反驳的事实证实，任何足够强的系统都无法完全解释自己。也就是说，你没有办法站在系统之内把系统看透，没有办法用意识把意识本身想明白，没有办法用理性封住理性自己。这是结构性的事实。
人最危险的幻觉不是贫穷，而是以为一切都可以被计算清楚，被设计，被管理。而现代社会正是一个追求完备的系统。资本会说，只要数据足够多，人就能被预测。技术会说，只要模型足够强，世界就能被模拟
亲爱的女儿，你好！生日快乐！
在你生日之际，老爸想了很久很久。这几年，我的女儿越来越成熟了，你选择了应用数学作为你的博士专业，这是一个及富有挑战性的方向，也是一个及其充满无限乐趣的方向。
既然是数学，老爸就从数学的角度和你聊一下数学对于认知世界的点点滴滴，这有助于你的人生和面对很对不确定性时的思考。
数学让人理性，但理性存在边界。
关于人类承认理性存在边界是在数学里哥德尔首先提出。哥德尔是世界著名数学家，哥德尔不完全性（也有说不完备性）定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。
哥德尔的不完备性定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。
哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。被称为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”，最有震撼力的是哥德尔不备全性定理 。
哥德尔不完全性定理告诉人们，人类寻求知识的努力永远都不会到达终点，我们始终都有获得新知识的挑战，人类社会总有“事与愿违”的事情需要我们去克服，没有这种挑战，人类就会停滞。
哥德尔第一不完备性定理证明，任何一个复杂的系统里一定存在既无法证明也推翻不了但又确实存在的东西。
哥德尔第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
哥德尔第二不完备性定理进一步说明，这样的系统没有办法在自身内部证明自己的一致性。
哥德尔第二定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
这两个定理，不在于数学难度，而在于用不可反驳的事实证实，任何足够强的系统都无法完全解释自己。也就是说，你没有办法站在系统之内把系统看透，没有办法用意识把意识本身想明白，没有办法用理性封住理性自己。这是结构性的事实。
人最危险的幻觉不是贫穷，而是以为一切都可以被计算清楚，被设计，被管理。而现代社会正是一个追求完备的系统。资本会说，只要数据足够多，人就能被预测。技术会说，只要模型足够强，世界就能被模拟