用洛伦兹变换计算“双生子佯谬”Ⅰ
2014-06-13 12:14阅读：
用洛伦兹变换计算“双生子佯谬”
陈其翔
1.哥哥A乘飞船离开弟弟B经一段时间后返回
双生子A和B，哥哥A乘飞船离开弟弟B，经一段时间后返回地球与弟弟相遇，发现自己不知为何比弟弟更为年轻。若简单地运用狭义相对论动钟变慢的道理来进行解释，按相对性原理，也可认为哥哥A不动，弟弟B离开A然后返回相遇，形成了一个所谓“双生子佯谬”的难题。也有人说，这个问题需要用广义相对论来解决。因为弟弟B没有作加速运动，可认为处于惯性坐标系，而哥哥A乘飞船离开然后返回，必然作加速和减速运动，相当于在引力场中时间变慢。本文认为，双生子问题基本上属于狭义相对论，A的转向和返回过程，确定了他处于运动坐标系的现实。加速、减速运动加强了飞船中的时间变慢，但不是主要的。下面按狭义相对论的洛伦兹变换公式讨论双生子问题
设B处于惯性坐标系S(x, y, z,
t)的原点，A处于惯性坐标系Sa(xa,ya,
za, ta)的原点，各坐标轴相互平行。从t =
ta= 0开始，A乘飞船沿x轴正向以匀速v离开B,
设β=
v/c，γ=1/(1－β2)1/2。洛伦兹变换公式为：
ta
=γ(t－vx/c2)，
xa =γ(x－vt)，
ya= y， za=
z
；
t
=
γ(
ta＋
vxa/c
2)，
x=
γ(
xa＋
vta)，
y =
ya，
z =
za 。
A所乘飞船的全部行程，是飞往离地球8光年的一个恒星，它相对于地球是静止的，飞船到达后立即转向，按原速度返回。设飞船速度为
v=0.8c，
β=
v/c=0.8，1/
γ=0.6。时间单位用年，距离单位用光年。
当
t =
ta =
0，A开始航行，从地球看行程距离是8光年，飞船速度为
v=0.8c，用时
t
=10年。由于钟慢效应，从地球看飞船用时
ta=
6年。从飞船看，由于尺缩效应，地球离恒星的距离只有8/
γ=
4.8光年。由于从飞船看，地球是倒退离开飞船的，地球在S
a坐标系中的位置为：
xa=－4.8光年。倒退速度也为0.8c，从飞船看用时
ta=4.8/0.8=6年。由于钟慢效应，从飞船看地球上的钟只需用时
t
=3.6年。可用洛伦兹变换公式计算：
t
=
γ(
ta＋
vxa/c
2)
=[6＋0.8×(－4.8)]/0.6=3.6年
A所乘飞船转向后，沿
x轴反向以匀速
u
=－
v=－0.8c返回B。这时A所乘飞船处于惯性坐标系S
a’(
xa’,
ya’,
za’,
ta’)的原点，即
xa=
xa’=
0，其时钟读数不变，即
ta’=
ta=
6年，地球在S
a’坐标系中的位置也不变为：
xa’=
xa=－4.8光年。
洛伦兹变换公式改为(注意
u=－
v为负值)：
ta’=
γ(
t－
u
x/c
2)，
xa’=
γ(
x－
u t)，
ya’=
y，
za’=
z ；
t =
γ(
ta’＋
u
xa’/c
2)，
x=
γ(
xa’＋
uta’)，
y =
ya’，
z =
za’ 。
从地球看返程距离仍是8光年，飞船速度为－0.8c，用时10年即可返回，总计用时
t=20年。从飞船看，用时6年即可返回，总计用时
ta=12年。有人提出，从飞船看，飞船飞离地球的行程由于钟慢效应，地球上的钟只需3.6年；同样当飞船返回地球，也只需用时3.6年，合起来用时
t=7.2年，而从地球看往返行程总计用时
t=20年。相差12.8年。这说明狭义相对论有错误，“双生子对称飞行假想实验是一个真正的时空悖论而不是佯谬”。
一般来说，实践是检验理论的标准，但理论本身是否存在悖论，这关系到理论本身是否自恰，是否完整，只能从理论本身来解决。狭义相对论的理论核心，在于洛伦兹变换。前面说，A所乘飞船在飞离地球的行程中，处于惯性坐标系S
a(
xa,
ya,
za,
ta)的原点，转向后处于惯性坐标系S
a’(
xa’,
ya’,
za’,
ta’)的原点，即
xa’=
xa=
0，其时钟读数不变，即
ta’=
ta=
6年。地球在S
a’坐标系中的位置也不变：即
xa’=
xa=－4.8光年。
前面用洛伦兹变换公式计算出，从飞船看，地球在转向前时钟的读数为
t
=3.6年，那么在飞船转向后，从飞船看，地球上的时钟读数是否仍不变呢？这个问题仍可用洛伦兹变换公式计算，注意
u=－0.8c为负值，
xa’=－4.8也为负值，相乘得正值：
t
=
γ(
ta’＋
uxa’/c
2)
= (6＋0.8×4.8)/0.6 =16.4年，
从飞船看，地球上的钟在转向后读数是16.4年，飞船返回地球的行程需用时
t
=3.6年，二者相加正好是20年，与地球上的B看，地球钟的读数
t=10＋10=20年是一致的，没有时空悖论。而A所乘飞船返回地球后，随行钟的读数为
ta’=12年。与地球钟的读数不相等。
总之，飞船时间变慢是由于狭义相对论动钟变慢而引起的，转向和返回过程，确定了A处于运动坐标系的现实。时间的跳变，甚至“时间倒流”，是从一个坐标系看另一坐标系的时间，所产生的假象。
表1 地球和飞船在各坐标系中的时间和位置
|
以地球为观察者
|
以飞船为观察者
|
地球
|
飞船
|
飞船
|
地球
|
1起飞
|
t = 0
|
x = 0
|
ta= 0
|
x = 0
|
ta= 0
|
xa= 0
|
t = 0
|
xa= 0
|
2转向前
|
t =10
|
x = 0
|
ta= 6
|
x = 8
|
ta= 6
|
xa= 0
|
t =3.6
|
xa =－4.8
|
3转向后
|
t =10
|
x = 0
|
ta’= 6
|
x = 8
|
ta’= 6
|
xa’=0
|
t =16.4
|
xa’=－4.8
|
4返回
|
t =20
|
x = 0
|
ta’=12
|
x = 0
|
ta’=12
|
xa’=0
|
t =20
|
xa’=0
|
实际上，相对论是公允的、对不同惯性坐标系，并不区分那个是静止的，那个是运动的，二者间可通过洛伦兹变换沟通。“静止”和“运动”是人类的常规语言，概念是明确的。我说：飞船有折返过程，处于运动坐标系，概念也是明确的。因为飞船有折返过程，确定了飞船处于运动坐标系的现实，而地球没有，“地球”与“飞船”并不等价。折返过程实际上是坐标系的改变，坐标时也随之改变，形成“时间跳变”。
从本坐标系的时钟得出的时间，称本征时间，而从一个坐标系看另一坐标系的时间，不是本征时间。本征时间不可能跳变。本例中出现的“时间跳变”，是从一个坐标系看另一坐标系的时间，由于坐标系的改变所产生的。我在《“双生子佯谬”的讨论和计算》一文中，不直接用洛伦兹变换计算，而用假想发射和接收电波的方法进行计算，可避免计算折返过程中坐标时的跳变。
该文中，用广义相对论对飞船加速、减速运动的时间变慢作了估算，指出：“总之，飞船时间变慢基本是由于狭义相对论动钟变慢，转向和返回过程，确定了A处于运动坐标系的现实。加速、减速运动加强了飞船中的时间变慢，但不是主要的”。在闵可夫斯基几何中，类时世界线的长度，代表本征时间(固有时间)的长度，两点间以直线的长度为最长。即曲线比折线短，折线比直线短。折返过程的世界线为折线，加速、减速运动的折线为曲线，它们都比直线更短。
(待续)
见本人科学网博克及其中的附件:
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2163&do=blog&id=803026
