切线长定理和三角形的内切圆
2007-05-27 09:26阅读：
切线长定理和三角形的内切圆
一、知识要点
1. 切线长：过圆外一点引圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
注意：(1)切线不同于切线长，前者是直线不可度量，后者是切线上一条线段的长度，可以度量。
(2)过圆上一点只能作一条圆的切线；过圆外一点可以作两条圆的切线；过圆内一点不能作圆的切线。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
如图-1，已知：P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点；
结论：(1)PA=PB；(2)OP平分∠APB。
3. 由切线长定理，可以推得如下重要结论：
(1)圆外切四边形的对边和相等；
(2)圆的两条平行切线的切点连线是圆的直径。
4. 三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；
内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
说明：(1)任意三角形有且只有一个内切圆，而任意多边形不一定有内切圆；
(2)等腰三角形的外心、内心、重心(三条中线交点)、垂心(三条高线交点)共线，都在底边的垂直平分线上。
二、例题分析：
1. 已知：如图-2，△ABC的内切圆⊙O切边AB、BC、AC于点D、E、F，且∠A=50°，求∠
DEF的度数。
分析与解答：因为∠DEF是圆周角，可以先求相应的圆心角∠DOF，由切线的性质，知OD⊥AB，OF⊥AC，从而可求出∠DOF。
连结OD，OF
∵⊙O切AB于D，切AC于F
∴OD⊥AB，OF⊥AC
∴∠A+∠DOF=180°
∴∠A=50°
∴∠DOF=130°
说明：此题还可由切线长定理和内心性质，求解如下：
连结OB、OC
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴OB平分∠ABC，BD=BE
∴OB⊥DE，
同理：OC⊥EF，
∴∠BOC+∠DEF=180°
又∵∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
∴∠DEF=65°
事实上，在此求解过程中可以得到如下结论：
(1)
(2)
例2.
已知；如图-4，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=7，AC=8，BC=9，求AD、BE、CF的长。
分析与解答：AD、BE、CF的长都是⊙O的切线长，可以通过切线长定理建立方程而求解：
设AD=x，则BD=7-x
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴AD=AF=x，BD=BE=7-x，CE=CF=8-x
∵BC=BE+CE
∴7-x+8-x=9
∴x=3
∴AD=3，BE=4，CF=5。
例3. 已知：如图-5，△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求△ABC的内切圆⊙O的半径r。
分析与解答：把⊙O的半径r与△ABC的边联系起来，可以通过切线的性质证明四边形ODCF是正方形，再利用切线长定理可求解。
连结OD、OF
∵⊙O切△ABC的边BC、AC于点D、F
∴OD⊥BC，OF⊥AC
又∵∠C=90°
∴四边形ODCF是矩形
∵OD=OF
∴矩形ODCF是正方形
∴CD=CF=OD=r
∴BD=3-r，AF=4-r
∵AB切⊙O于E
∴BE=BD，AE=AF
∴BD+AF=AB
∴3-r+4-r=5
∴r=1
此题亦可采用：面积变换而求解，如图-6
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC
∵∠C=90°，BC=3，AC=4
∴AB=5
∵S
△AOB+S
△BOC+S
△AOC=S
△ABC
即(3+4+5)r=3×4
∴r=1
说明：在此题的求解中，设BC=a，AC=b，AB=c
由前一种解法可知：a-r+b-r=c
由后一种解法可知：(a+b+c)r=a·b
这均是计算直角三角形内切圆半径的重要结论。
那么由此两种表达式你可以验证一个什么重要定理呢？请同学们试一试。
例4. 已知：如图-7，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过
上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E。
(1)若∠P=70°，求∠DOE的度数；
(2)若PA=4cm，求△PDE的周长。
分析与解答：根据切线长定理，要求∠DOE只需要求出∠AOB，而∠AOB+∠P=180°
连结OA、OB、OC
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD=CD，BE=CE
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC
∵∠P+∠AOB=180°，∠P=70°
∴∠DOE=55°
△PDE的周长=PD+PE+DE
=PD+AD+BE+PE
=PA+PB=8cm
说明：此题的解答中推出两个重要结论：
(1)
(2)△PDE的周长=PA+PB=2PA
例5.
如图-8，△ABC中∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O
1是△ABC的内切圆，切边AC、BC分别于D、E，⊙O
2切边BC于N，切AC、AB的延长线于点F、M，求O
1O
2的长。
分析与解答：⊙O
1是Rt△ABC的内切圆，其半径可以由例3的结论求得，而⊙O
2有两条互相垂直的切线CB、CF容易构造正方形，可由例4的结论，求出⊙O
2的半径，从而求出O
1O
2
连结O
1D、O
1E
∵⊙O
1切AC于D，切BC于E
∴O
1D⊥AC，O
1E⊥BC
又∵∠ACB=90°，O
1D=O
1E
∴四边形O
1DCE是正方形
∴CD=CE=r
1
同理CF=CN=r
2
∵AC=4，BC=3
∴AB=5
∴3-r
1+4-r
1=5，∴r
1=1
∵⊙O
2切直线AB、BC、AC于点M、N、F
∴BM=BN，CF=CN
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12=AM+AF=2AF
∴AF=6
∴r
2=CF=AF-AC=2
在直角梯形O
1O
2FD中，O
1D=1，O
2F=2，DF=3
