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同时等分三角形周长和面积的直线

2013-07-15 16:27阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1053359752

例（1996年全国初中数学联赛试题）如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的…………………(　　)
 　　(A)内心　(B)外心　(C)重心　(D)垂心
　　
分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线（下文笔者称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线）是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。当该直线不过三角形的顶点时，结论: 三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心．

　　证明： 如图1，设GH为△ABC的一条周积平分线，P为△ABC的内心，令△ABC的内切圆半径为r．



　　不失一般性，设△
ABC的三边长为，，， 三边两两互不相等，记，令G、H两点分别在边AB、AC上．

　　∵ AG+AH=

　　连接PA、PB、PC、PG、PH，则

===

==

　　又∵=+=+=

∴=

∴G，P，H三点共线，即GH经过点P．

　　可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线(如等边三角形)．这些周积平分线必过此三角形的内心．

而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。下文笔者将侧重于展示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周长的周积平分线的尺规作图法。

若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。

所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：

1、过内心P作一直线，使该直线将△ABC的面积平分为两等份（如图2）

作法：① 取AC的中点D，作△ABE∽△APD(两个三角形所处的位置犹如绕点A发生了位似旋转变换)，A、P、E三点在一条直线上；

② 再作PE的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点O，使∠POE=∠BAC；

③ 以O为圆心，OP为半径作圆，该圆与AB相交于点G（取与A点较远的交点），则由P、G两点所确定的直线平分△ABC的面积。

注意：①作△APD时，要让AP>AD；②以O为圆心，OP为半径作圆，该圆在边AB上要有交点(与A点较远的交点G必须在线段AB上)，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试.

 证明：由△ABE∽△APD可得：AD·AB = AP·AE ……（1），∠PAB=∠PAD，设直线GP与AC的交点为H，因P、E、G三点共圆，所以⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠POE=∠BAC=∠PAC=∠PAB，所以∠APH=∠AGP+∠PAB=∠AGP+∠PGE=∠AGE，很容易证明△AGE∽△APH，由此可得AG·AH = AP·AE，结合（1）式可知道AD·AB = AG·AH，从而有AD·ABsin∠BAC =AG·AHsin∠BAC，由于点D是AC的中点，所以有：AD·ABsin∠BAC =即AG×AHsin∠BAC =，故直线GH平分△ABC的面积。

也可由AD·AB = AG·AH变形成比例式：AD:AH = AG:AB，所以连结GD、BH(图略)，则GD∥BH，再连结BD得中线(图略)，利用两平行线之间同底等高的三角形面积相等的原理，易证：，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解：直线GH平分△ABC的面积了。

那么，GH平分△ABC的周长吗？

因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P点到△ABC的三边的距离），可得：=+，=++，又因，所以有：AG+AH=(AB+BC+AC），故直线GH也平分△ABC的周长。
2.过内心P作一直线，使该直线将△ABC的周长平分为两等份（如图3）

① 分别在边AB、AC或其延长线上截取AD、AF，使AD=AF=（可以把AB，AC的长度转化到直线BC上，再取AB、BC、AC三条线段之和的四等分）；

② 分别过点D作直线AB的垂线与∠BAC的平分线AP相交于点E，连结EF，易证EF⊥AC，ED=EF；

③ 过点P、E作圆（作圆方法略，见图2）与AB相交于点G（取与A点较远的交点），使⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠PAC=∠PAB；

④ 由P、G两点所确定的直线与AC的交点为H，GH平分△ABC的周长。


证明：连结EG、EH，因为∠PGE=∠PAC，所以点A、G、E、H四点共圆(可假设点A在G、E、H三点共圆的圆内或圆外两种情况,得证)，于是∠DGE=∠FHE(因为同一条弦AE所对异侧的两个圆周角互补)。又因为∠EDG=∠EFH=，ED=EF，所以≌，这样就得到DG=FH，这样AG+AH=AD+AF=，因此直线GH平分△ABC的周长。

那么，GH平分△ABC的面积吗？

因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P点到△ABC的三边的距离），可得：=+，=++，又因AG+AH=，所以有：，故直线GH也平分△ABC的面积。

综上所述，三角形的周积平分线必过它的内心；过三角形内心的一条直线平分周长也必然平分面积；过三角形内心的一条直线平分面积也必然平分周长。

另外，本文所阐述的过三角形内心平分周长的方法，可以推广到：过三角形内任意一点作平分周长的直线（提示：如图4，P是△ABC内任意一点，AE是∠BAC的平分线，∠PGE=∠EAC），这个问题留给读者验证。


求证：对于任意一个三角形，一定存在一条直线，它把这个三角形的周长和面积同时分成了两等分。
大家知道，三角形的三个内角的角平分线一定交于一点，这个点就是三角形的内心，它到三角形三边的距离是相等的。一个令人吃惊的结论是，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长！
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕
如图， I 是三角形 ABC 的内心， ID 、 IE 、 IF 是 I 到三角形三边的垂线段，它们的长度是相等的，不妨把这个长度值记作 r 。假设直线 PQ 经过点 I ，并且平分三角形的面积。这说明， PA · r / 2 + AQ · r / 2 = PB · r / 2 + BC · r / 2 + CQ · r / 2 ，也就是 PA + AQ = PB + BC + CQ 。因此，直线 PQ 也平分了三角形 ABC 的周长。
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕
如果对于任意一个三角形，都存在一条经过内心并且平分面积的直线的话，我们的问题就解决了。事实上，对于任意一个三角形，以及三角形内的任意一个定点，都存在一条经过该点并且平分面积的直线的。这很容易看出来。首先，过该定点随便作一条直线。如果这条直线正好平分了三角形的面积，问题就直接解决了。否则，将这条直线绕着定点旋转 180 度，你会发现它回到了原来的位置，但是直线左侧的面积和直线右侧的面积却颠倒了过来。这意味着，假设最开始的时候，直线左侧的面积小于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将大于整个三角形面积的1/2；反过来，假设最开始的时候，直线左侧的面积大于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将小于整个三角形面积的1/2。然而，在旋转过程中，直线左侧的面积始终在发生连续的变化，因此必然有一刻，直线左侧的面积正好等于三角形面积的1/2。这就是一条平分三角形面积的直线。根据前面的结论，它也就同时平分了周长。
我们不妨把一个三角形中，既平分周长又平分面积的直线叫做“均分线”。有的读者或许会很快发现，在一个三角形中，这样的均分线很可能不止一条。如下图，假如 PQ 是一条均分线，那么把 PQ 沿着图中所示的角平分线翻折到 P'Q' ，容易证明三角形 PIQ' 和 P'IQ 是全等的，于是线段 PQ' 和线段 P'Q 的长度相等，并且两个三角形的面积相等。因此，原来 AP + AQ 是三角形周长的一半，现在 AP' + AQ' 仍然是三角形周长的一半；原来三角形 APQ 的面积是整个三角形面积的一半，现在三角形 AP'Q' 的面积仍然是整个三角形面积的一半。可见， P'Q' 也将是一条均分线。因此，这个三角形至少有两条均分线。
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕
对于一些更特殊的三角形来说，均分线可能还会更多，例如在一个等边三角形当中，均分线至少有三条（它们也就是等边三角形的三条对称轴）。1997 年， George Berzsenyi 曾经猜想，一个三角形最多只能有三条均分线。这个猜想是正确的吗？ 2010 年 4 月， Dimitrios Kodokostas 在 Mathematics Magazine 上发表了一篇题为 Triangle Equalizers 文章，完美地解答了这个问题。
刚才我们证明了，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长。根据同样的道理，经过内心的直线如果平分了三角形的周长，就一定平分了三角形的面积。事实上，我们可以证明，三角形的均分线是一定经过内心的。假如下图中的直线 PQ 是一条不过 I 点的均分线，由于 BP + BQ 等于三角形周长的一半，因而三角形 BPI 的面积加上三角形 BQI 的面积就是整个三角形面积的一半，这与三角形 BPQ 的面积是一样的，可见 I 一定在直线 PQ 上。
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕 因此，为了计算均分线的数目，我们只需要考虑过内心的直线就行了。受到前面“旋转法”的启发，我们尝试着去确定，在直线绕着内心旋转的过程中，直线两侧的面积究竟将会经历怎样的起伏变化？
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕 除了三处例外点以外，这条直线通常会把整个三角形分成一个小三角形和一个四边形。一个非常有用的结论是，若这条直线与任意一条角平分线垂直时，小三角形的面积会达到极小值，四边形部分的面积会达到极大值。为什么呢？看上面这个图，假设 AD 是三角形的一条角平分线， PQ 垂直于 AD 。如果把 PQ 旋转到 XY 的位置，三角形 APQ 就变成了三角形 AXY ，下面我们来说明，这样变了之后，面积一定变大了。过点 P 作 AC 的平行线，与 XY 交于点 Z 。容易证明，图中的两个红色三角形全等，因此三角形 AXY 的面积比三角形 APQ 的面积更多，多了图中蓝色三角形那么大的面积。事实上，蓝色三角形的面积为 (1/2) · PX · PZ · sin∠XPZ = (1/2) · PX · YQ · sin∠BAC ，随着直线的继续转动，这是会不断增加的。当然，如果让 PQ 逆时针旋转，结果也是一样的：与 A 点构成的三角形面积会单调递增，与 B 、 C 两点构成的四边形面积则会单调递减。
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕
因此，在直线绕着内心 I 旋转 180 度的过程中，一共会经过上图所示的六个关键节点：三条角平分线（红色表示），以及三条与角平分线垂直的线（蓝色表示）。假设直线从 X1Y1 出发，按照 X1Y1 → BE → X2Y2 → DA → X3Y3 → CF → Y1X1 的顺序旋转 180 度。如果我们把刚开始直线的上方叫做它的左侧，那么在旋转的过程中，左侧的面积会怎么变化？刚开始的时候，直线左侧的面积是图中黄色部分的面积。从 X1Y1 到 BE ，直线左侧的面积不断增大；从 BE 到 X2Y2 ，直线左侧的面积继续增大，并且达到极大值；从 X2Y2 到 DA ，直线左侧的面积开始缩小；从 DA 到 X3Y3 ，直线左侧的面积继续缩小，并且达到极小值；接下来，直线左侧的面积又重新开始变大，最后变成图中的绿色面积。
因此，一个典型的面积变化曲线如下图所示，其中横轴表示直线旋转过的度数，纵轴表示直线左侧面积占整个三角形面积的比例。由于这条曲线只有三个单调区间，因此这条曲线与 y = 1/2 最多只有三个交点。换句话说，最多只有三个时刻，直线左侧的面积等于整个三角形面积的一半。这说明，三角形的均分线最多只有三条。 Berzsenyi 的猜想是正确的。
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕
前面我们已经说过，事实上，三角形的均分线确实是有可能达到三条的，等边三角形就是最简单的例子。那么，是否每个三角形都有三条均分线呢？不见得。有些三角形就只有两条均分线。如果刚开始的时候，直线左侧的面积恰好是 1/2 ，那么面积变化曲线将会从 1/2 开始，上升，下降，再回到 1/2 。于是，整条曲线和 y = 1/2 只有两个交点，三角形就只有两条均分线了。
均分线鈥斺斖钡确秩切沃艹ず兔婊闹毕
为了给出一个确凿的例子，我们需要找出一个满足要求的三角形。比方说上图中的等腰三角形，如果三角形 APQ 和三角形 ABC 的相似比是 1 : √2 ，那么刚开始直线左侧的面积就是 1/2 了。这要求 AI : AD = 1 : √2 ，即 AI : ID = 1 : (√2 - 1) ，即 AI : IE = 1 : (√2 - 1) 。此时， ∠IAE = arcsin(√2 - 1) ，三角形 ABC 中的 ∠A 则是 2 arcsin(√2 - 1) 。根据前面的讨论，这个三角形就只有两条均分线。
现在，保持 AB = AC 不变，继续缩小 ∠A 的度数，此时 ∠IAE 的正弦值会进一步缩小，从而让 AI 与 IE 之比（也就是 AI 与 ID 之比）进一步扩大，其结果就是，三角形 APQ 的面积大于整个三角形面积的 1/2 。这样的话，面积变化曲线将会从某个大于 1/2 的值出发，上升后再下降，最后再上升到一个小于 1/2 的、与初始值对称的位置。这条曲线将会仅与 y = 1/2 相交一次，因而三角形就只有一条均分线了。
最终，我们得到了一个完整的结论：一个三角形里至少有一条均分线，最多有三条均分线，并且实际数目有可能是 1 条、 2 条或者 3 条中的任意一个。
Dimitrios Kodokostas 还细致地讨论了三角形的均分线数量的判别条件，有兴趣的朋友可以查阅一下。如何用尺规作图作出三角形的均分线，这也是一个很有挑战性的问题。对这个问题感兴趣的读者可以看看这里： http://goo.gl/ZO

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