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e的指数和以e为底的对数的近似计算

2015-12-02 23:37阅读：

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e的指数和以e为底的对数的近似计算
欢迎转载只须注明作者---京西青龙
近似计算公式无所谓好坏，不同的应用场合有不同的公式更使用。用e^x表示e的x次方、ln x表示x的以e为底的对数；用'/'表示除号、用'*'表示乘号；以下提到的误差都是指误差的绝对值。
第一组近似公式: e^x=(2+x)/(2-x) ---公式1 ln x=log(e,x)=(2x-2)/(x+1) ---公式2
用公式1计算时，x越接近0相对误差越小：
x的计算范围为[-0.1,+0.1]时，最大相对误差<0.01%，保留6位有效数字;
x的计算范围为[-0.2,+0.2]时，最大相对误差<0.1%， 保留
5位有效数字;
x的计算范围为[-0.3,+0.3]时，最大相对误差<0.25%，保留5位有效数字;
x的计算范围为[-0.4,+0.4]时，最大相对误差<0.55%，保留5位有效数字;
x的计算范围为[-0.5,+0.5]时，最大相对误差<1.2%， 保留4位有效数字;
x的计算范围为[-0.6,+0.6]时，最大相对误差<2%， 保留4位有效数字;
x的计算范围为[-0.7,+0.7]时，最大相对误差<3.2% ， 保留4位有效数字;
计算过程中所要求的相对误差越小，中间结果和最终结果要保留的有效数字越多。公式2是由公式1推导而来，相对误差以后再讨论。这一组公式的特点是简单易记、计算量小、适用范围宽但绝对误差和相对误差大。
第二组近似公式 e^x=(1968+1157x)/(1968-843x) ---公式3
ln x=log(e,x)=(1968x-1968)/(843x+1157) ---公式4
用公式3计算的相对误差<0.1%（千分之一）,x的计算范围是[0,+ln2]( 中间结果和最终结果要保留6位有效数字，ln2=0.69315)。用公式4是由公式3推导而来，相对误差以后再讨论。这一组公式的特点是复杂难记、计算量大、适用范围较窄但相对误差很小。
如果计算[-ln 2, 0)范围内的变量y的指数,令x=-y,则
e^y=1/(e^x)= (1968-843x)/ (1968+1157x)= (1968+843y)/ (1968-1157y)
如果计算[-ln2,+ln 2]范围之外的变量y的指数,令y=n*ln2+x,则e^y=(2^n)*(2^x)。其中n为整数，变量x在 [-ln2,+ln 2]范围内，这样，即可计算e的任意指数；n越大ln2就应该取值越精确，这样才能保证一定的计算精确度。

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